Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Lerne, gebrochen-rationale Funktionen zu untersuchen mit diesen Übungsaufgaben. Schaffst du sie alle?

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

$f(x)=\frac{7x-3}{8x-5}$

$f(x)=\frac{x^3}{\left(x-1\right)^2}+7x$

$f(x)=\frac1{x(x-5)}$

Wie ändert sich der Wert des Terms $T\left(x\right)=1-\frac1x$ , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen

Um herauszufinden, wie sich der Wert von T(x) verändert für größer werdende x und für kleiner werdende x, kannst du in T(x) verschiedene Werte für x einsetzen.

Setze zum Beispiel für größer werdende x folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): 1; 10; 100; 1000

Setze zum Beispiel für kleiner werdende x erstmal folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): -1; -10; -100; -1000

größer werdende x

$x$	1	10	100	1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac11$	$1-\frac{1}{10}$	$1-\frac{1}{100}$	$1-\frac{1}{1000}$
	$=1-1\\=0$	$=\frac{10}{10}-\frac{1}{10}\\=\frac{9}{10}\\=0{,}9$	$=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}\\=\frac{99}{100}\\=0{,}99$	$=\frac{1000}{1000}-\frac{1}{1000}\\=\frac{999}{1000}\\=0{,}999$

Für immer größer werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow\infty$ ) wird der Wert $T(x)$ fast 1.

kleiner werdende x

$x$	-1	-10	-100	-1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac{1}{-1}$	$1-\frac{1}{-10}$	$1-\frac{1}{-100}$	$1-\frac{1}{-1000}$
	$=1+1\\=2$	$=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}\\=\frac{11}{10}\\=1{,}1$	$=\frac{100}{100}+\frac{1}{100}\\=\frac{101}{100}\\=1{,}01$	$=\frac{1000}{1000}+\frac{1}{1000}\\=\frac{1001}{1000}\\=1{,}001$

Für immer kleiner werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow -\infty$ ) wird der Wert $T(x)$ fast 1.

Zusatz: Graph von $T(x)$

Der Term nähert sich also für immer kleiner werdende $x$ dem Wert $1$ an. Für immer größer werdende $x$ nähert sich $T(x)$ auch $1$ an.

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Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Gegeben ist der Term $T\left(a\right)=\frac3{1-a}$ .

Berechne T(4), T(–5) und $T\left(\frac12\right)$ .

Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfache gebrochenrationale Funktionen
$T(a)=\frac3{1-a}$
"a" muss sich immer weiter von a < 1 an 1 annähern, damit sich möglichst große Werte ergeben. Dadurch nähert der Nenner sich 0 an und lässt so den Termwert immer größer werden.
Antwort: Die Zahlen von "a" nähern sich auf dem Zahlenstrahl 1 an, sind aber immer kleiner 1.
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Gegeben ist der Bruchterm $T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$ .

Gib die Definitionsmenge des Terms $T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochenrationale Funktionen
Definitionsmenge bestimmen
$T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ $D_f=ℝ\backslash\left\{-2;\;0\right\}$
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Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

Berechne T(3).

Gegeben ist die Funktion $h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}$

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen $y=\frac{x-2}{1+x}$ und $y=-\frac12x+1$ .
Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$ .
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
Schnittpunkte von Funktionen
$\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$
Die Lösungsmenge der Gleichung repräsentiert die x-Werte, bei denen sich die Funktionen schneiden.
$L=\left\{-3;\;2\right\}$
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Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-1$ .

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift $f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3}$ .

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Berechne f(10), f(100), f(1000).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
$f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}$
Setze $x = 10$ , $x=100$ und $x=1000$ ein.
$f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0{,}869$
$f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0{,}985$
$f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0{,}999$
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Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

$f(x)=\frac{2x}{2x+3}$
$D_f=R\backslash\left\{-1{,}5\right\}$
Nullstelle: $\;x=0$
$x$
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
$f(x)$
1,6
2
4
-2
0
0,4
0,57
0,67
0,73
Zeichnung
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Gib die Gleichungen der Asymptoten von $G_f$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
$f(x)=\frac{2x}{2x+3}$
Waagrechte Asymptote
Zählergrad = Nennergrad $\Rightarrow$ Betrachtung der Koeffizenten
$y=1$
Senkrechte Asymptote
bei der Definitionslücke
$x=-1{,}5$
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$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$f(x)$	1,6	2	4	-2	0	0,4	0,57	0,67	0,73

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ . Skizziere den Graphen.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0{,}2\mathrm x^2-1}$

$\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$

$\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nenner: $\mathrm x^2+1$ wird nie 0
$\Rightarrow\;\;$ keine Definitionslücke
Bestimme den Definitionsbereich
$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}$
Bestimme das Verhalten der Funktion
Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.
$\Rightarrow$ Die Funktion hat eine schräge Asymptote.
Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)
Asymptote: $\mathrm y=\mathrm x-1$
Skizze
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Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

Gebrochen rationale Funktionen

Definitionsbereich bestimmen

\displaystyle \mathrm{k}(\mathrm{x})

=

\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-4}-\frac{\mathrm{x}^2+1}{\mathrm{x}}

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

$\displaystyle 2\mathrm x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4; :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

\displaystyle x

=

\displaystyle 0

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}$

Verhalten einer Funktion

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

$\displaystyle \mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .
	$=$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

$\Rightarrow$ Asymptote: $\mathrm y=-\mathrm x+0{,}5$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

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$\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$

$\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}$

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Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$
  Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.
  $\displaystyle x + 3$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -3$
  $\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -3$
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.
  Waagrechte Asymptote
  $f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$
  Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$ .
  Grenzwert gegen $+ \infty$
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$
  Grenzwert gegen $- \infty$
  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.
  Wertetabelle
  x
  -4
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  f(x)
  8
  -4
  -1
  0
  0,5
  $\frac 45$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$
  Bringe alles auf einen Nenner.
  $f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}$
  Lies die senkrechte Asymptote ab:
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.
  Waagrechte Asymptote
  $f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$
  Betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$ , um waagrechte Asymptoten herauszufinden.
  Grenzwert $+ \infty$
  $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$
  Grenzwert $- \infty$
  $\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= $\dfrac 32$
  Wertetabelle
  x
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  f(x)
  2
  $\frac {10}{6}$
  1,5
  3,5
  -0,5
  0,5
  $\frac {2}{10}$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac3x$ und bestimme damit die Graphen von $g(x)=-\frac3x-2$ , $h(x)=\frac3{x+1{,}5}$ und $k(x)=\frac{1{,}5}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1$
$g(x)=-\frac3x-2$
$g(x)=-\frac3x-2$ $\rightarrow$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h(x)=\dfrac {3}{x+1{,}5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k(x)=\frac{1{,}5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion $f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2$ berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).
Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:
Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
1. Der Graph von $f$ berührt die x-Achse an der Stelle $x=-1$ ;
  die Funktion $f$ hat die Polstelle $x=3$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei $x=-1$ berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
  $f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}$
  Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x=3$ geben.
  $f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}$
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2. Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=2$ und für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}$
  Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
  $\Rightarrow$ Funktion bei 2 nicht definiert
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}$
  Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f( x)=\dfrac{0{,}5\cdot x^2}{\left(x-2\right)^2}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
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3. Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=-1$ und ${\mathrm x}_2=2$ und für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0{,}5\mathrm x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
  ${\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $0{,}5\mathrm x-1$
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$
  Zeichne eine Skizze der Funktion
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4. Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=-2$ , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
  $\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}$
  Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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5. Der Graph von f hat eine Polstelle bei ${\mathrm x}_1=0$ und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ hat der Graph die Asymptote $\mathrm y=0$ und bei ${\mathrm x}_2=2$ befindet sich eine Nullstelle.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
  $\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm y=0$
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}$
  Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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x	-4	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	8	-4	-1	0	0,5	$\frac 45$	1

x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
f(x)	2	$\frac {10}{6}$	1,5	3,5	-0,5	0,5	$\frac {2}{10}$	1

Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen der gegebenen Funktionen.

$f(x)= \dfrac {(2-x)} {(x+3) (x-3)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Nullstellen- und Definitionsmengenbestimmung bei gebrochen rationale Funktionen

Um die Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst nur der Zähler bestrachtet.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2-x\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$
	↓	Setze den Zähler Null.
$\displaystyle \left(2-x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Du kannst die Klammer hier weglassen.
$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Rechne auf beiden Seiten $-2$ .
$\displaystyle 2-x-2$	$=$	$\displaystyle 0-2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Multipliziere mit $-1$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Die einfache Nullstelle der Funktion $f(x)$ ist bei $x=2$

Um die Definotionsmenge zu bestimmen wird zunächst nur der Nenner betrachtet.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2-x\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$
	↓	Setze den Nenner Null.
$\displaystyle \left(x+3\right)\left(x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Betrachte jede Klammer für sich und setze sie Null. Dabei kannst du jeweils die Klammern weg lassen.
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Rechne auf beiden Seiten $-3$
$\displaystyle x+3-3$	$=$	$\displaystyle 0-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Wiederhole dies für die andere Klammer.

$x-3=0$

$x-3+3=0+3$

$x=3$

Die Definitionsmenge beschreibt den Bereich in welchem die Funktion sich abbilden lässt. Die vorher ausgerechneten X-Werte $(x=3$ und $x=-3)$ zeigen die Stellen der Funktion, die nicht definiert sind, da der Nenner hier Null werden würde. Man nennt dies eine Definietionslücke.

Für alle anderen Werte ist der Nenner ungleich Null.

Deswegen ist die Defitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}$

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16
Bestimme die Schnittpunkte der angegebenen Graphen durch eine geeignete Zeichnung!
1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ und $y=4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst den Graphen $f(x)$ in ein Koordinatensystem ein. Suche dir dazu die Asymptoten und zeichne dann die Hyperbeläste ein.
  Die senkrechte Asymptote von $f(x)$ ist $x=0$ und die waagerechte Asymptote $y=0$ .
  Zeichne anschließend den Graphen $y=4$ in die Zeichnung ein.
  Lies die $x$ - und $y$ -Koordinate aus dem Bild ab.
  In diesem Fall ist $y=4$ und $x\approx0{,}25$ .
  Der abgelesene Schnittpunkt ist also: $S(0{,}25|4)$
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann $x$ - und $y$ -Koordinate des Schnittpunkts ab!
2. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+3}-1$ und $g(x)=-x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
  Die senkrechte Asymptote ist x=-3 und die waagerechte -1.
  Zeichne nun den Graph der linearen Funktion g(x) in das Koordinatensystem ein.
  Hier gibt es zwei Schnittpunkte! Der erste ist ungefähr bei $S_1(-2{,}75|2{,}75)$ und der zweite bei $S_2(0{,}75|-0{,}75)$ .
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!
3. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2$ und $x=1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
  Die senkrechte Asymptote liegt bei x=-4 und die waagerechte bei y=-2.
  Zeichne anschließend eine senkrechte Gerade bei x=1 ein.
  Der abgelesene Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(1|-1{,}8)$ .
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2$ mit maximaler Definitionsmenge.

Gib die maximale Definitionsmenge an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich festlegen
$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+2$
Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
$\Rightarrow$ $D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}$
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Weise nach, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie prüfen
$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+2$
Ersetze x durch -x.
$f\left(-x\right)=\frac{1}{\left(-x\right)^2}+2$
$=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)$
Da $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .
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Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

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Für welche Werte von $x$ unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion $f$ um weniger als $\frac{1}{100}$ vom Wert $2$ ?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7x-3}{8x-5}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$\displaystyle 8x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 8x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{8}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{\frac58\right\}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	4 für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-4}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{-3}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	-5 für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(-5\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-\left(-5\right)}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{6}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	Zum Überprüfen auf Definitonslücken den Nenner der Funktion gleich 0 setzen.
$\displaystyle 1-a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +a$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle T\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{x\left(x+2\right)}-\frac{x}{\left(x+2\right)x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x+2-x}{\left(x+2\right)x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{x^2+2x}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3}{\left(x-1\right)^2}+7x$
	↓	Nenner gleich 0 setzen.
$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Definitionslücke ablesen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x\left(x-5\right)}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lese die Nullstellen ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{0;\;5\right\}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	$\frac{1}{2}$ für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-\frac{1}{2}}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2}}$
	↓	Die 2 lässt sich in den Zähler des Bruchs schreiben (siehe Division).
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot2}{1}$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle T\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{x^2+2x}$
	↓	3 einsetzen.
$\displaystyle T\left(3\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{9+6}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}13$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$
	↓	Setze den Zahler gleich Null.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$
	↓	Den Funktionsterm gleich $4$ setzen.
$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Beseitige den Nenner.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(x-2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 4x-8$	$\displaystyle -4x-1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x-4x$	$=$	$\displaystyle -8-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \frac{x-2}{1+x}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $-1$ hat, ist der x-Wert $0{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle \dfrac{3}{2+x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2-x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3\cdot(2-x)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(2+x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 2+x$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle : 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2x+3}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$\displaystyle 2\cdot x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 2\cdot x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$
	$=$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle R\backslash\;\left\{-1{,}5\right\}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2-x}{0{,}2x^2-1}$
	↓	Untersuche, wann der Nenner null wird
$\displaystyle 0{,}2x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :0{,}2\ \ \ +1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}$
	↓	Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu $\mathrm x^2$ aus)
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0{,}2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0}{0{,}2-0}=0$

$\displaystyle 1-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle \Rightarrow\;\;\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}$
	↓	Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-1{,}5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
$\displaystyle \mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$
	↓	Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\mathrm x-0{,}5+\frac{1{,}5}{\mathrm x-1}$
	↓	Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

$\displaystyle \mathrm{x}^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \mathrm x^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \surd$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$
	↓	Klammere $\mathrm x^2$ im Zähler und im Nenner aus.
	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0{,}5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}$
	↓	Berechne den Grenzwert
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0+0{,}5}{1-0}=0{,}5$

$\displaystyle \mathrm{n}(\mathrm{x})$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}^2}{2\mathrm{x}-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^3+4\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}\cdot\left(2\mathrm{x}-1\right)}$

$\displaystyle 2\mathrm x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1 \|:2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac12$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}$
	↓	Forme den Term mit Polynomdivision um
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\mathrm x+0{,}25\;+\frac{4{,}25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}$

$\displaystyle x + 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

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größer werdende x

kleiner werdende x

Zusatz: Graph von T(x)T(x)T(x)

T(4)

T(-5)

T(12)T\left(\frac12\right)T(21​)

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Schnittpunkte von Funktionen

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Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

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Zeichnung

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Waagrechte Asymptote

Senkrechte Asymptote