Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ . Skizziere den Graphen.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0{,}2\mathrm x^2-1}$

$\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$

$\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nenner: $\mathrm x^2+1$ wird nie 0
$\Rightarrow\;\;$ keine Definitionslücke
Bestimme den Definitionsbereich
$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}$
Bestimme das Verhalten der Funktion
Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.
$\Rightarrow$ Die Funktion hat eine schräge Asymptote.
Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)
Asymptote: $\mathrm y=\mathrm x-1$
Skizze
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Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

Gebrochen rationale Funktionen

Definitionsbereich bestimmen

\displaystyle \mathrm{k}(\mathrm{x})

=

\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-4}-\frac{\mathrm{x}^2+1}{\mathrm{x}}

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

$\displaystyle 2\mathrm x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4; :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

\displaystyle x

=

\displaystyle 0

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}$

Verhalten einer Funktion

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

$\displaystyle \mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .
	$=$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

$\Rightarrow$ Asymptote: $\mathrm y=-\mathrm x+0{,}5$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

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$\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$

$\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2-x}{0{,}2x^2-1}$
	↓	Untersuche, wann der Nenner null wird
$\displaystyle 0{,}2x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :0{,}2\ \ \ +1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}$
	↓	Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu $\mathrm x^2$ aus)
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0{,}2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0}{0{,}2-0}=0$

$\displaystyle 1-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle \Rightarrow\;\;\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}$
	↓	Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-1{,}5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
$\displaystyle \mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$
	↓	Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\mathrm x-0{,}5+\frac{1{,}5}{\mathrm x-1}$
	↓	Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

$\displaystyle \mathrm{x}^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \mathrm x^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \surd$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$
	↓	Klammere $\mathrm x^2$ im Zähler und im Nenner aus.
	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0{,}5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}$
	↓	Berechne den Grenzwert
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0+0{,}5}{1-0}=0{,}5$

$\displaystyle \mathrm{n}(\mathrm{x})$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}^2}{2\mathrm{x}-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^3+4\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}\cdot\left(2\mathrm{x}-1\right)}$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle 2\mathrm x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1 \|:2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac12$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}$
	↓	Forme den Term mit Polynomdivision um
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\mathrm x+0{,}25\;+\frac{4{,}25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}$