Senkrechte Asymptote

$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x+3}}f(x)=\backslash dfrac\{2x\}\{x+3\}$

Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x+3}}f(x)=\backslash dfrac\{2x\}\{x+3\}$

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$ und $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$.

Grenzwert gegen $+\mathrm{\infty }+\; \backslash infty$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{x+3}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x\}\{x+3\}$

Klammere x aus.

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x}}{\displaystyle \frac{2}{1+\frac{3}{x}}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{3}{x}}}}}=2\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x\}\{x\}\backslash dfrac\{2\}\{1+\backslash frac3x\}\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2\}\{1+\backslash underbrace\{\backslash frac\; 3x\}\_\{\backslash rightarrow\backslash \; 0\}\}=2$

Grenzwert gegen $-\mathrm{\infty }-\; \backslash infty$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{x+3}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x\}\{x+3\}$

Klammere x aus.

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x}}{\displaystyle \frac{2}{1+\frac{3}{x}}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{3}{x}}}}}=2\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x\}\{x\}\backslash dfrac\{2\}\{1+\backslash frac3x\}\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2\}\{1+\backslash underbrace\{\backslash frac\; 3x\}\_\{\backslash rightarrow\backslash \; 0\}\}=2$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Senkrechte Asymptote

$f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}f(x)=\; -\backslash dfrac\; 2x\; +\; \backslash dfrac\; 32$

Bringe alles auf einen Nenner.

$f(x)={\displaystyle \frac{-4+3x}{2x}}f(x)=\; \backslash dfrac\{-4+3x\}\{2x\}$

Lies die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

$f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}f(x)=\; -\backslash dfrac\; 2x\; +\; \backslash dfrac\; 32$

Betrachte die Grenzwerte gegen $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$ und $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert $+\mathrm{\infty }+\; \backslash infty$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\; f(x)=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; -\backslash dfrac\; 2x\; +\; \backslash dfrac\; 32\; =\; \backslash dfrac\; 32$

Grenzwert $-\mathrm{\infty }-\; \backslash infty$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; f(x)=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; -\backslash dfrac\; 2x\; +\; \backslash dfrac\; 32\; =\; \backslash dfrac\; 32$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= ${\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash dfrac\; 32$

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus: