Senkrechte Asymptote

$f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$

Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

$f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$.

Grenzwert gegen $+ \infty$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}$

Klammere x aus.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$

Grenzwert gegen $- \infty$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}$

Klammere x aus.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Senkrechte Asymptote

$f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$

Bringe alles auf einen Nenner.

$f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}$

Lies die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

$f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$

Betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert $+ \infty$

$\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$

Grenzwert $- \infty$

$\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= $\dfrac 32$

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus: