Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Wie ändert sich der Wert des Terms $T (x) = 1 - \frac{1}{x}$ , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen

Um herauszufinden, wie sich der Wert von T(x) verändert für größer werdende x und für kleiner werdende x, kannst du in T(x) verschiedene Werte für x einsetzen.

Setze zum Beispiel für größer werdende x folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): 1; 10; 100; 1000

Setze zum Beispiel für kleiner werdende x erstmal folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): -1; -10; -100; -1000

größer werdende x

$x$	1	10	100	1000
$\begin{array}{l} T (x) \\ = 1 - \frac{1}{x} \end{array}$	$1 - \frac{1}{1}$	$1 - \frac{1}{10}$	$1 - \frac{1}{100}$	$1 - \frac{1}{1000}$
	$\begin{array}{l} = 1 - 1 \\ = 0 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} \\ = \frac{9}{10} \\ = 0,9 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} \\ = \frac{99}{100} \\ = 0,99 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{1000}{1000} - \frac{1}{1000} \\ = \frac{999}{1000} \\ = 0,999 \end{array}$

Für immer größer werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x \to \infty$ ) wird der Wert $T (x)$ fast 1.

kleiner werdende x

$x$	-1	-10	-100	-1000
$\begin{array}{l} T (x) \\ = 1 - \frac{1}{x} \end{array}$	$1 - \frac{1}{- 1}$	$1 - \frac{1}{- 10}$	$1 - \frac{1}{- 100}$	$1 - \frac{1}{- 1000}$
	$\begin{array}{l} = 1 + 1 \\ = 2 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{10}{10} + \frac{1}{10} \\ = \frac{11}{10} \\ = 1,1 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{100}{100} + \frac{1}{100} \\ = \frac{101}{100} \\ = 1,01 \end{array}$	$\begin{array}{l} = \frac{1000}{1000} + \frac{1}{1000} \\ = \frac{1001}{1000} \\ = 1,001 \end{array}$

Für immer kleiner werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x \to - \infty$ ) wird der Wert $T (x)$ fast 1.

Zusatz: Graph von $T (x)$

Der Term nähert sich also für immer kleiner werdende $x$ dem Wert $1$ an. Für immer größer werdende $x$ nähert sich $T (x)$ auch $1$ an.

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größer werdende x

kleiner werdende x

Zusatz: Graph von T(x)

Zusatz: Graph von $T (x)$