Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Wie ändert sich der Wert des Terms $T\left(x\right)=1-\frac1x$ , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen

Um herauszufinden, wie sich der Wert von T(x) verändert für größer werdende x und für kleiner werdende x, kannst du in T(x) verschiedene Werte für x einsetzen.

Setze zum Beispiel für größer werdende x folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): 1; 10; 100; 1000

Setze zum Beispiel für kleiner werdende x erstmal folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): -1; -10; -100; -1000

größer werdende x

$x$	1	10	100	1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac11$	$1-\frac{1}{10}$	$1-\frac{1}{100}$	$1-\frac{1}{1000}$
	$=1-1\\=0$	$=\frac{10}{10}-\frac{1}{10}\\=\frac{9}{10}\\=0{,}9$	$=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}\\=\frac{99}{100}\\=0{,}99$	$=\frac{1000}{1000}-\frac{1}{1000}\\=\frac{999}{1000}\\=0{,}999$

Für immer größer werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow\infty$ ) wird der Wert $T (x)$ fast 1.

kleiner werdende x

$x$	-1	-10	-100	-1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac{1}{-1}$	$1-\frac{1}{-10}$	$1-\frac{1}{-100}$	$1-\frac{1}{-1000}$
	$=1+1\\=2$	$=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}\\=\frac{11}{10}\\=1{,}1$	$=\frac{100}{100}+\frac{1}{100}\\=\frac{101}{100}\\=1{,}01$	$=\frac{1000}{1000}+\frac{1}{1000}\\=\frac{1001}{1000}\\=1{,}001$

Für immer kleiner werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow -\infty$ ) wird der Wert $T (x)$ fast 1.

Zusatz: Graph von $T (x)$

Der Term nähert sich also für immer kleiner werdende $x$ dem Wert $1$ an. Für immer größer werdende $x$ nähert sich $T (x)$ auch $1$ an.

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größer werdende x

kleiner werdende x

Zusatz: Graph von T(x)T(x)T(x)

Zusatz: Graph von $T (x)$