Wähle alle richtigen Aussagen aus:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Bei dieser Aufgabe sind sechs Aussagen angegeben, von denen man jeweils herausfinden soll, ob sie richtig sind.
Beachte dabei: Du darfst eine Aussage nur dann als richtig werten, wenn sie auch wirklich immer stimmt, und nicht schon dann, wenn es irgendwelche Fälle gibt, in denen sie mal richtig ist.
Sobald es auch nur ein einziges Gegenbeispiel gibt, ist die Aussage falsch.
Wahr sind nur die Aussagen, die "im allgemeinen Fall" richtig sind.
Falsche Aussagen
Folgende Aussagen sind für den allgemeinen Fall nicht richtig:
"Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse mindestens einmal."
"Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse höchstens einmal."
"Der Graph einer Funktion schneidet die y-Achse mindestens einmal."
Und die folgende Aussage ist sogar immer falsch:
"Eine zur y-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Richtige Aussagen
Richtig sind die folgenden Aussagen:
"Eine zur x-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
"Der Graph einer Funktion schneidet die y-Achse höchstens einmal."
Begründungen
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse mindestens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph schneidet die x-Achse nicht.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: f:x↦0,5x2+1
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
("Im Allgemeinen falsch" heißt: Für eine bestimmte Funktion kann sie schon richtig sein, aber sie stimmt nicht für jede Funktion, also nicht "allgemein").
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse höchstens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph schneidet die x-Achse mehr als einmal.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: g:x↦x2−2
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die y-Achse mindestens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. da der x-Wert 0 nicht im Definitionsbereich der Funktion ist.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: h:x↦x1
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
Zur Aussage "Eine zur y-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Graphen:
Dieser Graph gehört nicht zu einer Funktion.
Eine zur y-Achse parallele Gerade kann nicht Graph einer Funktion sein, weil diese Funktion dann einem einzigen x-Wert unendlich viele y-Werte (und nicht nur einen!) zuordnen würde.
Die Aussage ist sogar immer falsch, es gilt nämlich:
Eine zur y-Achse parallele Gerade ist kein Graph einer Funktion f:x↦f(x).
Zur Aussage "Eine zur x-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Diese Aussage ist richtig.
Wenn eine Gerade parallel zur x-Achse bei y=a verläuft, dann haben alle ihre Punkte den y-Wert a.
Daher ist die Gerade Graph der Funktion
f:x↦a,
die jedem x den Wert a zuordnet.
(Die Gerade im Bild hier zum Beispiel ist Graph der Funktion f:x↦1. )
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die y-Achse höchstens einmal."
Die Aussage ist richtig.
Wenn ein Graph die y-Achse mehr als einmal schneidet, kann er nicht Graph einer Funktion f:x↦f(x) sein.
Denn dem x-Wert x=0 müsste dann mehr als nur ein y-Wert zugeordnet sein.
