Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Gegeben sind im $\mathbb{R}^3$ die Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-\mathrm a=0$ ( $\mathrm a\in\mathbb{R}$ ) und die Gerade $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\mathrm k\\1\\-2\end{pmatrix}$ mit $\mathrm k\in\mathbb{R}$ .

Bestimme für $\mathrm a=4$ den Parameter k so, dass g parallel zu E verläuft. Begründe, dass dann g und E keinen Punkt gemeinsam haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$\mathrm E:\;\color{#cc0000}{x_1}-3\cdot \color{#0000cc}{x_2}+2\cdot \color{#00aa00}{x_3}-\mathrm a=0$
$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{cc0000}{1}\\ \color{0000cc}{0}\\ \color{00aa00}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{cc0000}{k}\\ \color{00aa00}{1}\\ \color{0000cc}{-2}\end{pmatrix}$
$\mathrm a=4$
Um den richtigen Wert für $k$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $a = 4$ ein.
$\color{#cc0000}{(1+r \cdot k)}- 3 \cdot \color{#00aa00}{(0 + r)}+2 \cdot \color{#0000cc}{(2-2r)} -4=0$
$1+r \cdot (k-7)=0$
Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss sich $r$ aus der Gleichung raus kürzen.
Nach dem Vereinfachen kann man $r$ ausklammern und $k$ so ermitteln, dass $r$ verschwindet.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\Rightarrow\;k-7=0\\\;\Rightarrow\;k=7\end{array}$
Jetzt stellt sich noch die Frage ob $g$ zu $E$ echt parrallel ist oder in $E$ liegt. Hierfür setzen wir $k$ in die Gleichung ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+r\cdot(7-7)=0\\\;\Rightarrow\;1=0\end{array}$
Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$
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Es gelte $\mathrm k=7$ , also verläuft g parallel zu E. Bestimme Parameter a so, dass g in E liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$\mathrm E: \color{#cc0000} {x_1}-3\cdot\color{#00aa00}{x_2}+2\cdot\color{#0000cc}{x_3}-\mathrm a=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#00aa00}{0}\\\color{#0000cc}{2}\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{k}\\\color{#00aa00}{1}\\\color{#0000cc}{-2}\end{pmatrix}$
$\mathrm k=7$
Um den richtigen Wert für $a$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $k = 7$ ein.
$\color{#cc0000}{(1+r \cdot 7)}- 3 \cdot \color{#00aa00}{(0 + r)}+2 \cdot \color{#0000cc}{(2-2r)} -a=0$
Damit $g$ in $E$ liegt, muss $a$ so gewählt sein, dass für alle $r$ die Gleichung erfüllt ist. Da sich $r$ rauskürzt, muss man die Gleichung nur noch nach $a$ auflösen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+7\mathrm r-3\mathrm r+4-4\mathrm r-\mathrm a=0\\\;\Rightarrow\;\mathrm a=5\end{array}$
Für $a = 5$ (und $k = 7$ ) liegt die Gerade in der Ebene.
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