Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Graphen von f und g im Koordinatensystem

Die Graphen der Funktionen $\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2$ und $\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen

Schraffiere diese Fläche

Schnittpunkte berechnen

$f (x) = 2 - x^{2}$

$g(x)=0{,}5x^2+0{,}5$

Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 2-x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2+0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5x^2$
$\displaystyle 2-1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$	$\displaystyle :\left(-1{,}5\right)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$

$x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1$

Die Schnittstellen sind also $x=\pm 1.$

Flächenbestimmung

Aus der Skizze ersieht man, dass $f$ die obere Funktion ist.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$
	↓	Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird. Setze $f(x)-g(x)=1{,}5-1{,}5x^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(1{,}5-1{,}5x^2)\mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\left[1{,}5x-0{,}5x^3\right]_{-1}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$\displaystyle \left(1{,}5\cdot 1-0{,}5\cdot 1^3\right)-\left(1{,}5\cdot(-1)-0{,}5\cdot(-1)^3\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5-0{,}5-(-1{,}5+0{,}5)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1-(-1)$
	$=$	$\displaystyle 2$

Die eingeschlossene Fläche $A$ zwischen den beiden Funktionen beträgt also $2\;\text{FE}$ .

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