Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Die abgebildete Parabel $f$ und Gerade $g$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ ein.

Schraffiere diese Fläche.

Bestimme die Funktionsterme von $f$ und $g$ und die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen.

Gib $A$ als bestimmtes Integral an und berechne dann $A$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Berechnung des zur Parabel $f$ gehörenden Funktionsterms:

Der Scheitel der Parabel kann abgelesen werden: $S(0∣3)$

$f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3$

Weiterhin kann der Punkt $(-2|-1)$ abgelesen werden.

Setze den Punkt $(-2|-1)$ in $f(x)=ax^2+3$ ein:

Die Parabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=-x^2+3$

Die Geradengleichung kann direkt abgelesen werden:

(Steigung $m=1$ und der y-Achsenabschnitt $t=1$ ):

$g(x)=x+1$

Setze $f(x)=g(x)$ .

$\displaystyle -x^2+3$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x^2+x+1$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+x-2$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit der pq-Formel (oder auch mit der Mitternachtsformel).

Lies $p$ und $q$ ab:

$p=1$ und $q=-2$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=1$ und $q=-2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{2{,}25}$
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\pm1{,}5$

Damit ist $x_1=-2$ und $x_2=1.$

Setze beide Werte z.B. in $g(x)$ ein, um die Funktionswerte der beiden Schnittpunkte zu erhalten:

$g(-2)=-2+1=-1 \;\Rightarrow\;S_1(-2|-1)$

$g(1)=1+1=2 \;\Rightarrow\;S_2(1|2)$

Die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen sind $S_1(-2|-1)$ und $S_2(1|2)$ .

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x$
	↓	Setze $f(x)$ und $g(x)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2+3-(x+1)\right) \mathrm{d}x$
	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2-x+2)\right) \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \left[-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}$
	$=$	$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-\dfrac{1}{2}\cdot1^2+2\cdot 1\right)-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot(-2)^3-\dfrac{1}{2}\cdot(-2)^2+2\cdot (-2)\right)$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{8}{3}+2+4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 8-\dfrac{9}{3}-0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 8-3-0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A= 4{,}5\;\text{FE }$ ein.

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