Teil B, Gruppe 1 - lernen mit Serlo!

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Die Abbildung zeigt ein Werkstück. Die Vorder- und Rückseite sind deckungsgleiche gleichschenklige Dreiecke.

a) Berechne den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

b) Ermittle das Volumen des Werkstücks.

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[https://youtu.be/82_-Ils1k_o]

Lösung Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe muss du wissen, wie man die Fläche eines Dreiecks und die Fläche eines Rechtecks berechnet.

Die Gesamtoberfläche besteht aus dem vorderen und hinteren Dreieck, den beiden seitlichen Rechtecken und dem unteren Rechteck.

\displaystyle O_{gesamt}=2\cdot A_{Dreieck}+2\cdot A_{Seitenrechteck}+A_{unteresRechteck}

Der Flächeninhalt der Dreiecke berechnet sich wie folgt:

\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{g\cdot h}2

Die Grundlinie kann man ablesen:

\displaystyle g=9\,cm

Die Höhe $h$ des Dreiecks muss man erst noch berechnen. Dies kannst du mit Hilfe des Satz von Pythagoras tun:

Die Summe der quadrierten Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

$(4{,}5cm)^2+h^2=(5{,}5cm)^2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}20{,}25cm^2+h^2=30{,}25cm^2\\h^2=30{,}25cm^2-20{,}25cm^2=10cm^2\\h\approx3{,}16cm\end{array}$

Damit beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks:

\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{g\cdot h}2=\frac{9\;cm\cdot3{,}16\;cm}2=14{,}22\;cm^2

Der Flächeninhalt eines seitlichen Rechtecks berechnet sich wie folgt:

\displaystyle A_{Seitenrechteck}=a\cdot b=5{,}5\;cm\;\cdot12\;cm=66\;cm^2

Die Fläche des unteren Rechtecks berechnest du wie folgt:

\displaystyle A_{unteresRechteck}=b\cdot c=12\;cm\;\cdot9\;cm=108\;cm^2

Nun setzt man alle gefundenen Werte in die erste Formel ein :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}O_{gesamt}&=2\cdot A_{Dreieck}+2\cdot A_{Seitenrechteck}+A_{unteresRechteck}\\&=2\cdot14{,}22\;cm^2+2\cdot66\;cm^2+108\;cm^2\\&=268{,}44\;cm^2\end{array}

Der Oberflächeninhalt beträgt also $268{,}44\;cm^2$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Das Werkstück ist ein regelmäßiges Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Für diese Teilaufgabe musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.

\displaystyle V=G\cdot h

Die Grundfläche ist die Fläche des in Teilaufgabe a) berechneten Dreiecks. Also $G=14{,}22\;cm^2$ . Die Höhe $h$ beträgt $12\,cm$ . Das Volumen berechnet sich also wie folgt:

\displaystyle V=14{,}22\;cm^2\cdot12\;cm=170{,}64\;cm^3

Das Volumen beträgt $170{,}64cm^3$

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Lösung Teilaufgabe a)

Lösung Teilaufgabe b)

Videoerklärung