Die Gesamtoberfläche besteht aus dem vorderen und hinteren Dreieck, den beiden seitlichen Rechtecken und dem unteren Rechteck.
O g e s a m t = 2 ⋅ A D r e i e c k + 2 ⋅ A S e i t e n r e c h t e c k + A u n t e r e s R e c h t e c k \displaystyle O_{gesamt}=2\cdot A_{Dreieck}+2\cdot A_{Seitenrechteck}+A_{unteresRechteck} O g es am t = 2 ⋅ A Dre i ec k + 2 ⋅ A S e i t e n rec h t ec k + A u n t eres R ec h t ec k Der Flächeninhalt der Dreiecke berechnet sich wie folgt:
A D r e i e c k = g ⋅ h 2 \displaystyle A_{Dreieck}=\frac{g\cdot h}2 A Dre i ec k = 2 g ⋅ h Die Grundlinie kann man ablesen:
g = 9 c m \displaystyle g=9\,cm g = 9 c m Die Höhe h h h Satz von Pythagoras tun:
Die Summe der quadrierten Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
( 4 , 5 c m ) 2 + h 2 = ( 5 , 5 c m ) 2 (4{,}5cm)^2+h^2=(5{,}5cm)^2 ( 4 , 5 c m ) 2 + h 2 = ( 5 , 5 c m ) 2
20 , 25 c m 2 + h 2 = 30 , 25 c m 2 h 2 = 30 , 25 c m 2 − 20 , 25 c m 2 = 10 c m 2 h ≈ 3 , 16 c m \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}20{,}25cm^2+h^2=30{,}25cm^2\\h^2=30{,}25cm^2-20{,}25cm^2=10cm^2\\h\approx3{,}16cm\end{array} 20 , 25 c m 2 + h 2 = 30 , 25 c m 2 h 2 = 30 , 25 c m 2 − 20 , 25 c m 2 = 10 c m 2 h ≈ 3 , 16 c m
Damit beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks:
A D r e i e c k = g ⋅ h 2 = 9 c m ⋅ 3 , 16 c m 2 = 14 , 22 c m 2 \displaystyle A_{Dreieck}=\frac{g\cdot h}2=\frac{9\;cm\cdot3{,}16\;cm}2=14{,}22\;cm^2 A Dre i ec k = 2 g ⋅ h = 2 9 c m ⋅ 3 , 16 c m = 14 , 22 c m 2 Der Flächeninhalt eines seitlichen Rechtecks berechnet sich wie folgt:
A S e i t e n r e c h t e c k = a ⋅ b = 5 , 5 c m ⋅ 12 c m = 66 c m 2 \displaystyle A_{Seitenrechteck}=a\cdot b=5{,}5\;cm\;\cdot12\;cm=66\;cm^2 A S e i t e n rec h t ec k = a ⋅ b = 5 , 5 c m ⋅ 12 c m = 66 c m 2 Die Fläche des unteren Rechtecks berechnest du wie folgt:
A u n t e r e s R e c h t e c k = b ⋅ c = 12 c m ⋅ 9 c m = 108 c m 2 \displaystyle A_{unteresRechteck}=b\cdot c=12\;cm\;\cdot9\;cm=108\;cm^2 A u n t eres R ec h t ec k = b ⋅ c = 12 c m ⋅ 9 c m = 108 c m 2 Nun setzt man alle gefundenen Werte in die erste Formel ein :
O g e s a m t = 2 ⋅ A D r e i e c k + 2 ⋅ A S e i t e n r e c h t e c k + A u n t e r e s R e c h t e c k = 2 ⋅ 14 , 22 c m 2 + 2 ⋅ 66 c m 2 + 108 c m 2 = 268 , 44 c m 2 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}O_{gesamt}&=2\cdot A_{Dreieck}+2\cdot A_{Seitenrechteck}+A_{unteresRechteck}\\&=2\cdot14{,}22\;cm^2+2\cdot66\;cm^2+108\;cm^2\\&=268{,}44\;cm^2\end{array} O g es am t = 2 ⋅ A Dre i ec k + 2 ⋅ A S e i t e n rec h t ec k + A u n t eres R ec h t ec k = 2 ⋅ 14 , 22 c m 2 + 2 ⋅ 66 c m 2 + 108 c m 2 = 268 , 44 c m 2 Der Oberflächeninhalt beträgt also 268 , 44 c m 2 268{,}44\;cm^2 268 , 44 c m 2
Lösung Teilaufgabe b) Das Werkstück ist ein regelmäßiges Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Für diese Teilaufgabe musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.
V = G ⋅ h \displaystyle V=G\cdot h V = G ⋅ h Die Grundfläche ist die Fläche des in Teilaufgabe a) berechneten Dreiecks. Also G = 14 , 22 c m 2 G=14{,}22\;cm^2 G = 14 , 22 c m 2 h h h 12 c m 12\,cm 12 c m
V = 14 , 22 c m 2 ⋅ 12 c m = 170 , 64 c m 3 \displaystyle V=14{,}22\;cm^2\cdot12\;cm=170{,}64\;cm^3 V = 14 , 22 c m 2 ⋅ 12 c m = 170 , 64 c m 3 Das Volumen beträgt 170 , 64 c m 3 170{,}64cm^3 170 , 64 c m 3
