Aufgaben zum Strahlensatz oder Vierstreckensatz

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Gegeben sei folgende Figur, mit den Längen $a=10 \,\text{cm}$ , $d= 2{,}5\,\text{cm}$ , $y=9 \,\text{cm}$ und $a+c=12 \,\text{cm}$ und $x ∣ ∣ y$ .

Berechne die Länge der Strecke $b$ in $\text{cm}$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz

Um die Länge der Strecke $b$ zu berechnen hast du laut Strahlensatz folgende Möglichkeiten:

$\dfrac{12}{10}=\dfrac{b+2{,}5}{b}$
$\dfrac{c}{10}=\dfrac{2{,}5}{b}$
$\dfrac{9}{x}=\dfrac{b+2{,}5}{b}$

Die dritte Gleichung ist dabei zunächst nicht möglich, da wir die Länge von $x$ nicht kennen. (Eine Gleichung mit zwei Unbekannten, kannst du nicht eindeutig auflösen.)

Die erste Gleichung kannst du benutzen, da nur $b$ unbekannt ist.

Die vielleicht leichteste Lösung erhältst du aus der zweiten Gleichung, obwohl auch hier zwei Unbekannte enthalten sind.

Aber: $c$ ist sehr leicht zu berechnen!

Aus $a + c = 12$ folgt unmittelbar: $c = 12 - a = 12 - 10 = 2$

$c$ hat also die Länge $2 \ cm$ .

So wird aus der zweiten Gleichung $\dfrac{2}{10}=\dfrac{2{,}5}{b}$ . Diese lösen wir nun auf:

$\displaystyle \dfrac{2}{10}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2{,}5}{b}$
	↓	Multipliziere mit $b$ .
$\displaystyle \dfrac{2}{10}\cdot b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
	↓	Dividiere durch $\dfrac{2}{10}$ .
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5:\dfrac{2}{10}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5\cdot\dfrac{10}{2}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5\cdot5$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 12{,}5$

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Berechne die Länge der Strecke $x$ in $\text{cm}$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz

Um die Länge der Strecke $x$ zu berechnen, hast du laut Strahlensatz folgende Möglichkeiten:

$\dfrac{12}{10}=\dfrac{9}{x}$
$\dfrac{15}{12{,}5}=\dfrac{9}{x}$

Es ist egal, welche der Gleichungen du benutzt, wir nutzen die erste:

$\displaystyle \dfrac{12}{10}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9}{x}$
	↓	Multipliziere mit $x$ .
$\displaystyle \dfrac{12}{10}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Dividiere durch $\dfrac{12}{10}$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9:\dfrac{12}{10}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9\cdot\dfrac{10}{12}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7{,}5$

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