Aufgaben zum Strahlensatz oder Vierstreckensatz

Hier findest du Aufgaben zum Strahlensatz bzw. Vierstreckensatz. Lerne, fehlende Größen mithilfe des Strahlensatzes zu berechnen!

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch $DE$ und $BC$ zueinander parallel sind. $\;$ Es gilt: $|\overline{AB}| = 8 \;\text{cm}$ , $|\overline{BC}|= 5 \;\text{cm}$ und $|\overline{DE}| = 3\; \text{cm}$ .

Wie lang ist die Strecke $\left|\overline{EB}\right|$ in $\text{cm}$ ?

Wenn gilt $|\overline{CD}| = 4 \;\text{cm}$ , wie lange ist dann $\left|\overline{AC}\right|$ in $\text{cm}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz

Es gibt zwei Möglichkeiten, $|\overline{AC}|$ aus den gegebenen Streckenlängen zu berechnen.

Möglichkeit A aus den ursprünglichen Angaben zu $|\overline{BC}|$ , $|\overline{DE}|$ und $|\overline{CD}|$ :

$\displaystyle \left\|\overline{AC}\right\|$	$=$	$\displaystyle \mathbf{\|\overline{AD}\|}+\|\overline{DC}\|\:(1)$
	↓	Die Strecke $\|\overline{AC}\|$ ist die Summe aus den Strecken $\|\overline{AD}\|$ (unbekannt) und $\|\overline{CD}\|$ (gegeben).
$\displaystyle \frac{\|\overline{AD}\|}{\|\overline{AC}\|}$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{BC}\|}$	$\displaystyle \cdot\|\overline{AC}\|$
	↓	Aus dem Strahlensatz kannst du außerdem das Verhältnis zwischen $\|\overline{AC}\|$ und $\|\overline{AD}\|$ berechnen.
$\displaystyle \|\overline{AD}\|$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{BC}\|}\cdot\|\overline{AC}\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\|\overline{AC}\|$
	$=$	$\displaystyle 0.6\:\|\overline{AC}\|$

$\displaystyle \|\overline{AC}\|$	$=$	$\displaystyle 0.6\:\|\overline{AC}\|+\|\overline{DC}\|$	$\displaystyle -0.6\:\|\overline{AC}\|$
$\displaystyle 0.4\:\|\overline{AC}\|$	$=$	$\displaystyle \|\overline{DC}\|$	$\displaystyle :0.4 \:oder \cdot\:2.5$
$\displaystyle \|\overline{AC}\|$	$=$	$\displaystyle 2.5\cdot\|\overline{DC}\|$
	$=$	$\displaystyle 2.5\cdot4\:cm$
	$=$	$\displaystyle \mathbf{10\:cm}$

Die Strecke $\overline{AC}$ ist also 10 cm lang.

Alternativ kannst du $|\overline{AC}|$ auch aus $|\overline{AB}|$ , $|\overline{CD}|$ und $|\overline{EB}|$ aus der vorigen Aufgabe berechnen:

$\displaystyle \frac{\|\overline{CD}\|}{\mathbf{\|\overline{AC}\|}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{EB}\|}{\|\overline{AB}\|}$
	↓	Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhältnis von $\|\overline{CD}\|$ und $\|\overline{AC}\|$ aus $\|\overline{EB}\|$ und $\|\overline{AB}\|$ . Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.
$\displaystyle \frac{\|\overline{AC}\|}{\|\overline{CD}\|}$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{AB}\|}{\|\overline{EB}\|}$	$\displaystyle \cdot\|\overline{CD}\|$
$\displaystyle \|\overline{AC}\|$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{AB}\|}{\|\overline{EB}\|}\cdot\|\overline{CD}\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{8\:cm}{3.2\:cm}\cdot4\:cm$
	$=$	$\displaystyle \mathbf{10\:cm}$
	↓	Die Strecke $\overline{AC}$ ist also 10 cm lang.

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Betrachte die Figur rechts.

Die Geraden $AD$ und $BC$ sind zueinander parallel. Außerdem gilt $\overline{AB} = 6\;\text{cm}$ , $\overline{AE} = 2 \;\text{cm}$ und $\overline{BC} = 3 \;\text{cm}$ .

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AD}$ in $\text{cm}$ .

Begründe, warum du die Länge der Strecke $\overline{CE}$ nicht mit Hilfe des Strahlensatzes berechnen kannst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Um die Länge der Strecke $\overline{CE}$ zu berechnen hättest du prinzipiell zwei Möglichkeiten:
1. Strahlensatz: $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EA}}$ , wenn du alle gegebenen Größen einsetzt, erhältst du: $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{4}{2}=2.$
Dir fehlt jedoch die Länge der Strecke $\overline{ED}$ , um $\overline{CE}$ berechnen zu können.
2. Strahlensatz: $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}}$ , wenn du alle gegebenen Größen einsetzt erhältst du: $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{3}{1{,}5}=2$ .
Wieder fehlt dir die Länge der Strecke $\overline{ED}$ , um $\overline{CE}$ berechnen zu können.
Wie du siehst, benötigst du von einem Strahl immer eine der beiden Strecken, um die jeweils andere mit dem Strahlensatz berechnen zu können!
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3
Entscheide, ob du den Strahlensatz anwenden darfst und die gesuchte Strecke berechnen kannst!
1. Gegeben: $\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2 B_2}$
  Gesucht: $\overline{A_1 B_1}$
  Ja, die gesuchte Größe kann mithilfe des Strahlensatzes gefunden werden.
  Nein, die gesuchte Strecke kann nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
2. Gegeben: $\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{ZB_1}$
  Gesucht: $\overline{ZB_2}$
  Nein, die gesuchte Größe kann nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
  Ja, die gesuchte Größe kann mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
3. Gegeben: $\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2B_2}$
  Gesucht: $\overline{ZB_1}$
  Nein, die gesuchte Größe kann nicht mithilfe des Strahlensatzes gefunden werden.
  Ja, die gesuchte Strecke kann man mithilfe des Strahlensatzes berechnen.
4. Gegeben: $\overline{A_1 A_2}, \overline{Z A_1}, \overline{Z B_1}$
  Gesucht: $\overline{Z B_2}$
  Ja, die gesuchte Größe kann mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
  Nein, die gesuchte Größe kann nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
4
Klaus will ein Haus mithilfe des Hausschattens ausmessen. Dazu misst Klaus zuerst den Abstand vom Haus bis zum Endpunkt des Schattens. Dieser Abstand beträgt genau $9{,}5m$ .
Anschließend stellt sich Klaus, der $1{,}80m$ groß ist, genau an den Punkt, ab dem er im Schatten ist. Diesen Ort markiert er und misst wieder den Abstand von dieser Markierung zum Haus. Dieser beträgt $7{,}5m$ .
Benutze den Strahlensatz, um die Höhe des Hauses zu berechnen!
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Die Zeichnung kann in eine Skizze, ähnlich zu den Skizzen im Artikel zum Strahlensatz, umgeformt werden. Das sieht dann folgendermaßen aus:
Anschließend kannst du die gegebenen Werte aus der Angabe den Strecken in der Skizze zuordnen.
Um nun die fehlende Höhe $h$ auszurechnen schreibst du dir am besten nochmal die gegebenen Werte auf. Dazu benutzt du die Zuordnung aus der Skizze oben.
Suche anschließend den passenden Strahlensatz für die gegebenen Strecken.
Zweiter Strahlensatz: $\dfrac{\overline{A_2 B_2}}{\overline{A_1 B_1}} = \dfrac{\overline{Z A_2}}{\overline{Z A_1}}$
Stelle den Strahlensatz nach der gesuchten Größe $h = \overline{A_2 B_2}$ um.
Setze die Werte ein und berechne die Höhe für das Haus!
Das von Klaus gemessene Haus ist 8,55m hoch.
Versuche die Zeichnung in eine Skizze mit den Punkten $Z, A_1, A_2, B_1, B_2$ und vier Geraden umzuwandeln, ähnlich zu den Zeichnungen im Artikel zum Strahlensatz.
5
Die Strecken $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$ , $\overline{BB'}=3 \, \text{cm}$ und $\overline{BC} = 4 \, \text{cm}$ sind gegeben. Berechne die Länge der türkis markierten Strecke $\overline{B' C'}$ !
6,4cm
5,6cm
7cm
6,8cm
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Der Strahlensatz für diese $V$ -Figur lautet:
Gesucht ist die Strecke $\overline{B'C'}$ . Löse nun die Bruchgleichung des Strahlensatzes nach dieser Strecke auf!
$\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}= \dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}$
Multipliziere dazu mit $\overline{BC}$ .
$\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}} \cdot\overline{BC} = \overline{B'C'}$
Setze nun die Zahlen aus der Angabe ein und berechne $\overline{B'C'}$ .
$\overline{B'C'}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}\cdot\overline{BC}$
$\\\overline{B'C'}=\dfrac{8\, \text{cm}}{5 \, \text{cm}} \cdot 4\, \text{cm} = 6{,}4 \, \text{cm}$
Die gesuchte Strecke $\overline{B'C'}$ hat eine Länge von $6{,}4 \, \text{cm}$ .

Gegeben sei die nebenstehende Figur mit den Seiten $a, a', b, b', c$ und $c'$ .

Berechne die Länge der Strecke $b'$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

Berechne die Länge der Strecke $a$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

7
Eine Figur wird durch eine Linse auf einen Bildschirm abgebildet. Dabei dreht sich das Bild um und wird verkleinert. Der Abstand der Figur zur Linse wird in der Physik auch Gegenstandsweite $g$ genannt. Der Abstand des Bildes zur Linse wird auch Bildweite $b$ genannt.
Die Größe der Figur ist $G$ (Gegenstandsgröße) und die Größe des Bildes ist $B$ .
Du hast nun die Gegenstandsweite, Bildweite und die Größe des Gegenstandes gegeben und sollst die Größe des Bildes auf der Leinwand $B$ berechnen.
$G = 30\, \text{cm}$ $g = 60\, \text{cm}$ $b = 40\, \text{cm}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Tipp: Erstelle dir zunächst eine Skizze, die der X-Figur des Strahlensatzes ähnelt! Trage alle gegebenen Werte in die Skizze ein und versuche eine Formel des Strahlensatzes zu finden, mit der du die Aufgabenstellung lösen kannst.
Erstellung einer Skizze
Erstelle zunächst eine Skizze, die der X-Figur des Strahlensatzes gleicht. Benenne dazu alle relevanten Punkte und trage die Längen der gegebenen Strecken ein.
Hier ist im Hintergrund noch das Bild der Figuren und der Linse, für eine bessere Orientierung, zu sehen. Das muss in deiner Skizze natürlich nicht so sein!
Anwendung des Strahlensatzes
Der zweite Strahlensatz für die X-Figur hat folgende Formulierung:
Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und der selben Gerade liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele.
Für die Wegstrecken, die auf derselben Geraden liegen nimmst du $\overline{A_1 Z} = g$ und $\overline{Z A_2} = b$ . Die beiden Parallelen sind in diesem Fall $\overline{A_1 B_1} = G$ und $\overline{A_2 B_2} = B$ .
Stelle damit die Formel für den Strahlensatz auf!
$\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}$
Stelle diese Formel nach $B$ um!
$\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}$
Multipliziere mit $G$ .
$\dfrac{b}{g} \cdot G= B$
Setze die gegebenen Werte ein und berechne $B$ .
$B= \dfrac{b}{g} \cdot G= \dfrac{40 \, \text{cm}} {60 \, \text{cm}} \cdot 30 \, \text{cm}\\$
$B= 20\, \text{cm}$
Das Bild auf der Leinwand hat eine Größe von $20 \, \text{cm}$ !

Gegeben sei folgende Figur, mit den Längen $a=10 \,\text{cm}$ , $d= 2{,}5\,\text{cm}$ , $y=9 \,\text{cm}$ und $a+c=12 \,\text{cm}$ und $x \ || \ y$ .

Berechne die Länge der Strecke $b$ in $\text{cm}$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

Berechne die Länge der Strecke $x$ in $\text{cm}$ mit Hilfe des Strahlensatzes.

9
Gegeben sei die folgende Figur mit den Seiten $a', b', c', a, b,c$ .
Berechne mithilfe der gegebenen Werte den Wert für $a$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Nutze den zweiten Strahlensatz für die $X$ -Figur, um ein Verhältnis der Strecken $c, c'$ und $a, a'$ aufzustellen.
Du erhältst das folgende Verhältnis:
Die gesuchte Größe ist $a$ .
Löse die Gleichung deshalb nach $a$ auf!
$\dfrac{c'}{c}= \dfrac{a'}{a}$
Multipliziere mit $a$ .
$\dfrac{c'}{c} \cdot a= a'$
Dividiere durch $\dfrac{c'}{c}$ . Das ist dasselbe wie mit dem Kehrbruch zu multiplizieren!
$a= \dfrac{c}{c'} \cdot a'$
Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Wert von $a$ !
$a = \dfrac{9}{6} \cdot 4 = 6$
Die gesuchte Größe $a$ hat den Wert $6$ .
10
Berechne den Anteil der roten Fläche an der Trapezfläche. Beachte, dass das Trapez symmetrisch ist!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Tipp: Berechne zunächst die Flächen des türkisen und des weißen Dreiecks um darüber auf die rote Fläche zu kommen!
Berechnen der Trapezfläche
Die Fläche des gesamten Trapezes kannst du schon mithilfe der angegebenen Werte berechnen. Diesen Wert brauchst du am Ende um den Anteil der roten Fläche zu bestimmen.
Die Fläche des Trapezes ist:
Berechnen der roten Fläche
Um die rote Fläche berechnen zu können, hilft es sich das Dreieck in verschiedene Flächen aufzuteilen, wie in der Skizze eingezeichnet:
Anschließend kannst du die Flächen des türkisen und des weißen Dreiecks bestimmen und aus der Differenz der gesamten Fläche und der beiden kleinen Flächen den Wert der roten Fläche bestimmen.
Fläche des türkisen Dreiecks
Die Fläche des türkisen Dreiecks kannst du mithilfe der Grundseite ( $20$ ) und der Höhe ( $8$ ) bestimmen.
Fläche des weißen Dreiecks
Die Grundseite des weißen Dreiecks hast du gegeben, die Höhe ist aber noch unbekannt. Diese kannst du aber mithilfe des ersten Strahlensatzes bestimmen. Dazu brauchst du allerdings noch eine weitere Streckenlänge, die in der Skizze mit $x$ bezeichnet wird.
Du siehst eine (orange) $V$ -Figur, für die du den Strahlensatz wie folgt aufstellen kannst:
$\dfrac{h_k}{x}=\dfrac{4}{8}$
Die $4$ kommt dadurch zustande, dass das Trapez symmetrisch ist, die Höhe des weißen Dreiecks die Grundfläche also genau halbiert.
Zunächst musst du also die Länge der Strecke $x$ berechnen um anschließend auf die Länge von $h_k$ zu kommen.
Die Strecke $x$ ist genau $8-y$ lang und $y$ kann wiederum mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.
In der Skizze siehst du in orange die entsprechenden Strecken, die du benötigst um die Strecke $y$ zu berechnen. Diese orange Figur entspricht einer $V$ -Figur.
Es gilt also:
Stelle diese Formel nach $y$ um, indem du mit $8$ multiplizierst.
Demnach ist $x$ :
Jetzt kannst du, wie oben bereits beschrieben den Strahlensatz erneut anwenden, um auf die Höhe $h_k$ des kleinen Dreiecks zu kommen.
$h_k$ unterteilt die obere Strecke in zwei gleich große Teile mit der Länge $4$ , da es sich um ein symmetrisches Trapez handelt. Stelle nun den Strahlensatz für die $V$ -Figur auf, um $h_k$ zu berechnen.
Löse diese Gleichung nach $h_k$ auf, indem du mit $x$ multiplizierst.
Jetzt kannst du mithilfe der Formel für die Fläche von Dreiecken die Fläche des weißen Dreiecks berechnen.
$A_{weiß} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2{,}29 = 9{,}16$
Berechnung der roten Fläche
Die rote Fläche ergibt sich nun aus der Differenz des gesamten Trapezes und der beiden kleinen Dreiecke.
Der Anteil der roten Fläche an der Gesamtfläche ist das folgende Verhältnis:
Die rote Fläche macht $20{,}39 \%$ der Gesamtfläche aus.
11
Berechne mit den Strahlensätzen die unbekannten Längen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Die $\textcolor{009999}{\text{türkisfarbene Strecke} }$ nennst Du $x$ .
Berechne $x$ mit dem 1. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{x}{4{,}8}=\dfrac{4}{3}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{4\cdot 4{,}8}{3}=6{,}4$
Die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbene Strecke} }$ nennst Du $y$ .
Berechne $y$ mit dem 2. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{y}{4}=\dfrac{7{,}2}{4+3}\;\Rightarrow\;y=\dfrac{4\cdot 7{,}2}{7}\approx4{,}1$
12
Berechne mit den Strahlensätzen die unbekannten Längen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Die $\textcolor{009999}{\text{türkisfarbene Strecke} }$ nennst Du $x$ .
Berechne $x$ mit dem 1. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{x}{1{,}9}=\dfrac{6{,}4}{2{,}4}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1{,}9\cdot 6{,}4}{2{,}4}\approx5{,}1$
Die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbene Strecke} }$ nennst Du $y$ .
Berechne $y$ mit dem 2. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{y}{6{,}4+2{,}4}=\dfrac{4}{6{,}4}\;\Rightarrow\;y=\dfrac{(6{,}4+2{,}4)\cdot 4}{6{,}4}=\dfrac{8{,}8\cdot 4}{6{,}4}=5{,}5$
13
Berechne mit den Strahlensätzen die unbekannten Längen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Die $\textcolor{009999}{\text{türkisfarbene Strecke} }$ nennst Du $x$ .
Berechne $x$ mit dem 1. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{x}{5{,}6}=\dfrac{8}{5}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{5{,}6\cdot 8}{5}=8{,}96$
Die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbene Strecke} }$ nennst Du $y$ .
Berechne $y$ mit dem 2. Strahlensatz:
Es gilt:
$\dfrac{y}{8+5}=\dfrac{4}{8}\;\Rightarrow\;y=\dfrac{(8+5)\cdot 4}{8}=\dfrac{13\cdot1}{2}=6{,}5$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$	$\displaystyle \cdot\overline{AB}$
$\displaystyle \overline{AE}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\cdot\overline{AB}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot8\:cm$
	$=$	$\displaystyle \mathbf{4{,}8\:cm}$
	↓	$4.8 cm$ einsetzen in $(1)$ .

$\displaystyle \left\|\overline{AC}\right\|$	$=$	$\displaystyle \mathbf{\|\overline{AD}\|}+\|\overline{DC}\|\:(1)$
	↓	Die Strecke $\|\overline{AC}\|$ ist die Summe aus den Strecken $\|\overline{AD}\|$ (unbekannt) und $\|\overline{CD}\|$ (gegeben).
$\displaystyle \frac{\|\overline{AD}\|}{\|\overline{AC}\|}$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{BC}\|}$	$\displaystyle \cdot\|\overline{AC}\|$
	↓	Aus dem Strahlensatz kannst du außerdem das Verhältnis zwischen $\|\overline{AC}\|$ und $\|\overline{AD}\|$ berechnen.
$\displaystyle \|\overline{AD}\|$	$=$	$\displaystyle \frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{BC}\|}\cdot\|\overline{AC}\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\|\overline{AC}\|$
	$=$	$\displaystyle 0.6\:\|\overline{AC}\|$

$\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$
	↓	Mit dem $2.$ Strahlensatz kannst du die Strecke $\overline{AD}$ aus $\overline{AE}$ (bekannt), $\overline{EB}$ (unbekannt) und $\overline{BC}$ (bekannt) errechnen.
$\displaystyle \overline{EB}$	$=$	$\displaystyle \overline{AB}-\overline{AE}$
	↓	Die Strecke $\overline{EB}$ ist die Differenz zwischen der Strecke $\overline{AB}$ und $\overline{AE}$ .
	$=$	$\displaystyle 6\:cm -2\:cm$
	$=$	$\displaystyle 4\:cm$

$\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$	$\displaystyle \cdot\overline{BC}$
$\displaystyle \overline{AD}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}\cdot\overline{BC}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\:cm}{4\:cm}\cdot 3 \:cm$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5 \:cm$

$\displaystyle \dfrac{b`}{b}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{c´}{c}$
	↓	Multipliziere mit $b$ !
$\displaystyle b´$	$=$	$\displaystyle \dfrac{c´}{c}\cdot b$
	↓	Setze die Werte für $a', \; a, \; b$ ein.
$\displaystyle b´$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{5}\cdot6{,}25$
$\displaystyle b´$	$=$	$\displaystyle 3{,}75$
	↓	$b′$ hat die Länge $3{,}75 cm$ .

Aufgaben zum Strahlensatz oder Vierstreckensatz

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Anwendung des Strahlensatzes

Berechnung von $b'$ :

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Anwendung des Strahlensatzes

Berechnung von $a$ :

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Erstellung einer Skizze

Anwendung des Strahlensatzes

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Berechnen der Trapezfläche

Berechnen der roten Fläche

Fläche des türkisen Dreiecks

Fläche des weißen Dreiecks

Berechnung der roten Fläche

$\displaystyle \dfrac{a´}{a}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{c´+c}{c}$
	↓	Multipliziere mit $a$ .
$\displaystyle a´$	$=$	$\displaystyle \dfrac{c´+c}{c}\cdot a$
	↓	Dividiere durch $\dfrac{c'+c}{c}$ ! (Multipliziere mit dem Kehrbruch)
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle a´\cdot\dfrac{c}{c´+c}$
	↓	Setze die gegebenen Werte aus und berechne $a$ .
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\dfrac{5}{8}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 3{,}75$
	↓	$a$ hat die Länge $3{,}75 cm$ .

$\displaystyle \dfrac{2}{10}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2{,}5}{b}$
	↓	Multipliziere mit $b$ .
$\displaystyle \dfrac{2}{10}\cdot b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
	↓	Dividiere durch $\dfrac{2}{10}$ .
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5:\dfrac{2}{10}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5\cdot\dfrac{10}{2}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2{,}5\cdot5$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 12{,}5$

$\displaystyle \dfrac{12}{10}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9}{x}$
	↓	Multipliziere mit $x$ .
$\displaystyle \dfrac{12}{10}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Dividiere durch $\dfrac{12}{10}$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9:\dfrac{12}{10}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9\cdot\dfrac{10}{12}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7{,}5$

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Anwendung des Strahlensatzes

Berechnung von b′b'b′:

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Anwendung des Strahlensatzes

Berechnung von aaa:

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Erstellung einer Skizze

Anwendung des Strahlensatzes

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Berechnen der Trapezfläche

Berechnen der roten Fläche

Fläche des türkisen Dreiecks

Fläche des weißen Dreiecks

Berechnung der roten Fläche

Berechnung von $b'$ :

Berechnung von $a$ :