Aufgaben zum Strahlensatz oder Vierstreckensatz

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch $D E$ und $B C$ zueinander parallel sind. Es gilt: $| A B | = 8 cm$ , $| B C | = 5 cm$ und $| D E | = 3 cm$ .

Wie lang ist die Strecke $| E B |$ in $cm$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
$E B = A B - A E (1)$
Die Strecke $E B$ ist die Differenz zwischen der Strecke $A B$ und $A E$
$A E$ kann man mit Hilfe des Strahlensatzes aus $A B$ , $B C$ und $D E$ errechnen.
$\frac{A E}{A B}$ $=$ $\frac{D E}{B C}$ $\cdot A B$
$A E$ $=$ $\frac{D E}{B C} \cdot A B$
$=$ $\frac{3 c m}{5 c m} \cdot 8 c m$
$=$ $𝟒,𝟖 𝐜 𝐦$
↓
$4.8 c m$ einsetzen in $(1)$ .
$E B = A B - A E = 8 c m - 4.8 c m = 𝟑,𝟐 𝐜 𝐦$
Die Strecke $E B$ beträgt $3,2 cm$
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Wenn gilt $| C D | = 4 cm$ , wie lange ist dann $| A C |$ in $cm$ ?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\| A C \|$	$=$	$\| 𝐀 𝐃 \| + \| D C \| (1)$
	↓	Die Strecke $\| A C \|$ ist die Summe aus den Strecken $\| A D \|$ (unbekannt) und $\| C D \|$ (gegeben).
$\frac{\| A D \|}{\| A C \|}$	$=$	$\frac{\| D E \|}{\| B C \|}$	$\cdot \| A C \|$
	↓	Aus dem Strahlensatz kannst du außerdem das Verhältnis zwischen $\| A C \|$ und $\| A D \|$ berechnen.
$\| A D \|$	$=$	$\frac{\| D E \|}{\| B C \|} \cdot \| A C \|$
	$=$	$\frac{3 c m}{5 c m} \cdot \| A C \|$
	$=$	$0.6 \| A C \|$

$\| A C \|$	$=$	$0.6 \| A C \| + \| D C \|$	$- 0.6 \| A C \|$
$0.4 \| A C \|$	$=$	$\| D C \|$	$: 0.4 o d e r \cdot 2.5$
$\| A C \|$	$=$	$2.5 \cdot \| D C \|$
	$=$	$2.5 \cdot 4 c m$
	$=$	$𝟏𝟎 𝐜 𝐦$

$\frac{\| C D \|}{\| 𝐀 𝐂 \|}$	$=$	$\frac{\| E B \|}{\| A B \|}$
	↓	Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhältnis von $\| C D \|$ und $\| A C \|$ aus $\| E B \|$ und $\| A B \|$ . Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.
$\frac{\| A C \|}{\| C D \|}$	$=$	$\frac{\| A B \|}{\| E B \|}$	$\cdot \| C D \|$
$\| A C \|$	$=$	$\frac{\| A B \|}{\| E B \|} \cdot \| C D \|$
	$=$	$\frac{8 c m}{3.2 c m} \cdot 4 c m$
	$=$	$𝟏𝟎 𝐜 𝐦$
	↓	Die Strecke $A C$ ist also 10 cm lang.

$\frac{A E}{A B}$	$=$	$\frac{D E}{B C}$	$\cdot A B$
$A E$	$=$	$\frac{D E}{B C} \cdot A B$
	$=$	$\frac{3 c m}{5 c m} \cdot 8 c m$
	$=$	$𝟒,𝟖 𝐜 𝐦$
	↓	$4.8 c m$ einsetzen in $(1)$ .

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