Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x)=3⋅x2 , die senkrecht zur Geraden h:2⋅y−3⋅x+6=0 ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:
y=mx+t
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden h:2y−3x+6=0 sein, stelle die Gleichung von h nun so um, dass du die Steigung ablesen kannst:
| 2y−3x+6 | = | 0 | +3x |
| 2y+6 | = | 3x | −6 |
| 2y | = | 3x−6 | :2 |
| y | = | 23x−3 |
Die Steigung der Gerade h ist mh=23.
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden h sein.
| ⇒m⋅mh | = | −1 | :mh |
| m | = | −mh1 | |
| m | = | −(23)1 | |
| m | = | −32 |
Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion f die Steigung von f gleich −32 sein.
f′(x)=6x
Damit berechnen wir die x-Koordinate des Berührpunktes P(x∣y).
f′(x)=6x=!−32
⇒x=−91
Außerdem liegt P(−91∣y) auf f.
f(−91)=3⋅(−91)2=271
Also ist P(−91∣271).
Bestimmen des y-Achsen Abschnitts durch einsetzen von P in die Geradengleichung:
| 271 | = | −32⋅(−91)+t | |
| −271 | = | 272+t | −272 |
| −271 | = | t |
⇒ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
