Aufgaben zu der Tangente - lernen mit Serlo!

Aufstellen der Tangentengleichungen:

$y_{1{,}2}=m_{1{,}2}x+t_{1{,}2}$

Die beiden Tangenten haben einen Schnittpunkt bei $P(0\mid4{,}25)$ .

$\Rightarrow t_{1{,}2}=4{,}25$

$\Rightarrow y_{1{,}2}=m_{1{,}2} x+4{,}25$

Wir errechnen die Schnittpunkte von $y_{1{,}2}$ und $f(x):$

$y_{1{,}2}=f(x) \Leftrightarrow \, m_{1{,}2}x+4{,}25=-x^2+2$

Mit der Mitternachtsformel Schnittstellen berechnen:

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{m_{1{,}2}\pm\sqrt{(-m_{1{,}2})^2-4\cdot(-1)\cdot(-2{,}25)}}{2\cdot(-1)}

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{m_{1{,}2}\pm\sqrt{(-m_{1{,}2})^2-4\cdot(-1)\cdot(-2{,}25)}}{2\cdot(-1)}

Für Tangenten muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{m_{1{,}2}\pm\sqrt{(-m_{1{,}2})^2-4\cdot(-1)\cdot(-2{,}25)}}{2\cdot(-1)}

zu erhalten, muss die Diskriminante $D=m_{1{,}2}^2-9$ gleich $0$ sein.

Die Tangenten sind also gegeben durch die Gleichungen

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{m_{1{,}2}\pm\sqrt{(-m_{1{,}2})^2-4\cdot(-1)\cdot(-2{,}25)}}{2\cdot(-1)}

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{m_{1{,}2}\pm\sqrt{(-m_{1{,}2})^2-4\cdot(-1)\cdot(-2{,}25)}}{2\cdot(-1)}