Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

a)

(2 BE)

Die Ebene $E$ : $3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

b)

(3 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit der Normalenform von Ebenengleichungen und Kenntnisse über Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im $\mathbb{R^3}$ .

Lösung Teilaufgabe a)

(2 BE)

Setze den Punkt $P(\color{red}{p}|\color{red}{p}|\color{red}{p}\color{black}{)}$ in die Ebenengleichung $3x_1+2x_2+2x_3=6$ von $E$ ein und löse die Gleichung nach $p$ auf.

$\displaystyle 3\cdot p+2\cdot p+2\cdot p$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle 7\cdot p$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{7}$

Der Punkt $P(\frac67|\frac67|\frac67)$ liegt auf der Ebene $E$ .

Lösung Teilaufgabe b)

(3 BE)

So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:

Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf derselben Geraden

\displaystyle g:\overrightarrow{x}=\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};\;\lambda \in \mathbb{R}.

Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen $g$ (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Alternative Begründung

Keine der unendlich vielen Ebenen $E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c$ mit $c\neq0$ und $n_1+n_2+n_3=0$ enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.

Denn kein Punkt $P(p|p|p)$ erfüllt die Ebenengleichung:

$\displaystyle n_1\cdot p+n_2\cdot p+n_3\cdot p$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle p\cdot\underbrace{(n_1+n_2+n_3)}_{\color{red}{0}}$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 0$

Es soll aber $c\neq 0$ sein!

Anmerkung

Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ist genau dann zu einer Ebene $E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c$ echt parallel, wenn $c\neq 0$ und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Wenn also gilt:

\displaystyle g:\overrightarrow{x}=\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};\;\lambda \in \mathbb{R}.

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