Teil A - lernen mit Serlo!

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2.0

Die Zeichnung zeigt das Viereck $A B C D$ . Es gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{AB}=7{,}8\ \text{cm}\;\\\overline{AD}=5{,}2\ \text{cm}\\\overline{BC}=8{,}6\ \text{cm}\end{array}$

$\sphericalangle BAD=90^\circ,\;\sphericalangle CBA=70^\circ$

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

2.1

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen $[B D]$ und den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $B C D$ .

[Ergebnisse: $\overline{BD}=9{,}4\ \text{cm},\;A=23{,}9\ \text{cm}^2$ ]

2.2

Der Punkt $E$ liegt auf der Strecke $[B C]$ . Die Dreiecke $A B E$ und $B C D$ besitzen dengleichen Flächeninhalt. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[A E]$ .

[Teilergebnis: $\overline{BE}=6{,}5\ \text{cm}$ ; Ergebnis: $\overline{AE}=8{,}3\ \text{cm}$ ]

2.3

Der Kreis um $E$ mit dem Radius $3\ \text{cm}$ schneidet die Strecke $[A E]$ im Punkt $P$ und die Strecke $[B E]$ im Punkt $Q$ Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset{\frown}{PQ}$ in die Zeichnung zu 2.0 ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken [ $Q E$ ] , [ $E P$ ] und den Kreisbogen $\overset{\frown}{PQ}$ begrenzt wird.

2.1

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen $[B D]$ benötigst Du den Satz des Pythagoras.

$\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2=7{,}8\ \text{cm}^2+5{,}2\ \text{cm}^2=60{,}84\ \text{cm}^2$

$\overline{BD}=\sqrt{87{,}88\ \text{cm}^2}=9{,}37\ \text{cm}$

Auf eine Stelle nach dem Komma gerundert beträgt $\overline{BD}=9{,}4\ \text{cm}$ .

Für die Berechnung der Dreiecksfläche $A_{ABC}$ musst du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$A_{BCD}=\dfrac12\cdot a\cdot b.\sin\left(\gamma\right)$

$A_{BCD}=\dfrac12\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BC}\cdot\sin\left(\gamma\right)$

$A_{BCD}=\left(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6.\sin\left(\angle CBD\right)\right)\ \text{cm}^2$

$\angle CBD=70^\circ-\angle DBA$

Für die Berechnung des Winkels $\angle DBA$ berechne zunächst den Tangens des Winkels $\angle DBA$ , da $\overline{AD}$ und $\overline{AB}$ bekannt sind.

$\tan\left(\angle DBA\right)=\dfrac{5{,}2}{7{,}8}=0{,}6666$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\angle DBA=33{,}7^\circ\\\angle CBD=70^\circ-33{,}7^\circ=36{,}3^\circ\end{array}$

$A_{BCD}=(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6\cdot\sin\left(36{,}3^\circ\right))\ \text{cm}^2$

$A_{BCD}$ = $=(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6\cdot0{,}5921)\ \text{cm}^2=23{,}9\ \text{cm}^2$

Die Fläche $A_{BCD}$ des Dreiecks $B C D$ beträgt $23{,}9\ \text{cm}^2$ .

2.2

Die Dreiecke $A B E$ und $B C D$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.

\displaystyle A_{BCD}=A_{ABE}

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}23{,}9\ \text{cm}^2=0{,}5\cdot7{,}8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot\sin\left(70^\circ\right)\\23{,}9\ \text{cm}^2=0{,}5\cdot7{,}8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot0{,}93969\\\overline{BE}=6{,}5\ \text{cm}\end{array}$

$\overline{AE}^2=(\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BE}\cdot\cos\left(70^\circ\right))\ \text{cm}^2$

$\overline{AE}^2=(7{,}8^2+6{,}5^2-2\cdot7{,}8\cdot6{,}5\cdot0{,}34)\ \text{cm}^2$

$\overline{AE}=8{,}3\ \text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt $8{,}3\ \text{cm}$ .

2.3

Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors, der durch die Strecken $[Q E]$ , $[E P]$ und den Kreisbogen $\overset{\frown}{PQ}$ begrenzt wird muss du wissen, wie man die Fläche eines Kreissektors berechnet.

$A_{Sektor}$ = $r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}%$

$A_{Sektor}$ = $9\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}$

Berechne den Winkel $\angle PEQ$

$\angle AEB=\angle PEQ$

Wende nun den Sinussatz im allgemeinen Dreieck an.

$\dfrac{\sin\left(\angle AEB\right)}{7{,}8\ \text{cm}}$ $=\dfrac{\sin\left(70^\circ\right)}{8{,}3\ \text{cm}}$

$\sin\left(\angle AEB\right)=\dfrac{0{,}94\cdot7{,}8\ \text{cm}}{8{,}3\ \text{cm}}$ $= 0,88$

$\angle AEB=62{,}0^\circ$ ,

$\angle PEQ=62^\circ$

$A_{Sektor}$ = $9\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{62°}{360°}\ \text{cm}^2$ = $9^\circ\cdot3{,}14\cdot0{,}17\ \text{cm}^2$ = $4{,}9\ \text{cm}^2$

Die Fläche des Kreissektors beträgt $4{,}9\ \text{cm}^2$ .

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