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Aufgaben
1.0
Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einerPrognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann mannäherungsweise durch die Funktion f:y=50001,75x      f:y=5000\cdot1,75^x\;\;\;G=\mathbb{G}=R0+\mathbb{R}^+_0 ×\times R0+\mathbb{R}^+_0beschreiben,wobei xx die Anzahl der Jahre und yy die Anzahl der Ladestationen darstellt.
1.1
Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichnen Sie sodann denGraphen der Funktion ff in das Koordinatensystem ein.
Wertetabelle
1.2
Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl derLadestationen erstmals um 600%600\% zugenommen haben wird.
1.3
Geben Sie an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommenwurde.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzrechnung

1.1
Für die Wertetabelle musst du wissen, wie man mit Potenzen rechnet.
50001,750=50001=500050001,751=50001,75=8750900050001,752=50003,0625=15312,51500050001,753=50005,359375=26796,8752700050001,754=50009,37890625=46894,5312547000\begin{array}{l}5000\cdot1,75^0=5000\cdot1=5000\\5000\cdot1,75^1=5000\cdot1,75=8750\approx9000\\5000\cdot1,75^2=5000\cdot3,0625=15312,5\approx15000\\5000\cdot1,75^3=5000\cdot5,359375=26796,875\approx27000\\5000\cdot1,75^4=5000\cdot9,37890625=46894,53125\approx47000\end{array}
Graph Ladestationen
1.2
50005000 Ladestationen entsprechen 100%100\%.
3000030000 Ladestationen ergeben 600%600\%.
Daraus ergibt sich eine Zunahme der Ladestationen um 3000030000 von 50005000 auf 3500035000.
Zeichne nun eine Parallele zur xx-Achse bei 3500035000 ein.
Durch den Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Graphen zeichne eine Parallele zur yy-Achse.
Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der xx-Achse ergibt die gesuchte Anzahl von Jahren.
Nach 3,53,5 Jahren hat die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um 600%600\% zugenommen.
1.3
f:  y=50001,75xf:\;y=5000\cdot1,75^x
Aus dem Faktor 1,75x1,75^x ergibt sich, dass in dieser Prognose ein jährliches Wachstum von 75%75\% angenommen wurde.
2.0
Die Zeichnung zeigt das Viereck ABCDABCD. Es gilt:
AB=7,8 cm  AD=5,2 cmBC=8,6 cm\begin{array}{l}\overline{AB}=7,8\ \text{cm}\;\\\overline{AD}=5,2\ \text{cm}\\\overline{BC}=8,6\ \text{cm}\end{array}
BAD=90,  CBA=70\sphericalangle BAD=90^\circ,\;\sphericalangle CBA=70^\circ
Viereck
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
2.1
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen [BD][BD] und den Flächeninhalt AA des Dreiecks BCDBCD.
[Ergebnisse: BD=9,4 cm,  A=23,9 cm2\overline{BD}=9,4\ \text{cm},\;A=23,9\ \text{cm}^2]
2.2
Der Punkt EE liegt auf der Strecke [BC][BC]. Die Dreiecke ABEABE und BCDBCD besitzen dengleichen Flächeninhalt. Berechnen Sie die Länge der Strecke [AE][AE].
[Teilergebnis: BE=6,5 cm\overline{BE}=6,5\ \text{cm} ; Ergebnis: AE=8,3 cm\overline{AE}=8,3\ \text{cm}]
2.3
Der Kreis um EE mit dem Radius 3 cm3\ \text{cm} schneidet die Strecke [AE][AE] im Punkt PP und die Strecke [BE][BE] im Punkt QQZeichnen Sie den Kreisbogen PQ\overset{\frown}{PQ} in die Zeichnung zu 2.0 ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken [QEQE] , [EPEP] und den Kreisbogen PQ\overset{\frown}{PQ} begrenzt wird.
2.1

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen [BD] [BD] benötigst Du den Satz des Pythagoras.

BD2=AB2+AD2=7,8 cm2+5,2 cm2=60,84 cm2\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2=7,8\ \text{cm}^2+5,2\ \text{cm}^2=60,84\ \text{cm}^2
BD=87,88 cm2=9,37 cm\overline{BD}=\sqrt{87,88\ \text{cm}^2}=9,37\ \text{cm}

Auf eine Stelle nach dem Komma gerundert beträgt BD=9,4 cm\overline{BD}=9,4\ \text{cm}.

Für die Berechnung der Dreiecksfläche AABCA_{ABC} musst du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

ABCD=12ab.sin(γ)A_{BCD}=\dfrac12\cdot a\cdot b.\sin\left(\gamma\right)
ABCD=12BDBCsin(γ)A_{BCD}=\dfrac12\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BC}\cdot\sin\left(\gamma\right)
ABCD=(0,59,48,6.sin(CBD)) cm2A_{BCD}=\left(0,5\cdot9,4\cdot8,6.\sin\left(\angle CBD\right)\right)\ \text{cm}^2

CBD=70DBA\angle CBD=70^\circ-\angle DBA

Für die Berechnung des Winkels DBA\angle DBA berechne zunächst den Tangens des Winkels DBA\angle DBA, da AD\overline{AD} und AB\overline{AB} bekannt sind.

tan(DBA)=5,27,8=0,6666\tan\left(\angle DBA\right)=\dfrac{5,2}{7,8}=0,6666
DBA=33,7CBD=7033,7=36,3\begin{array}{l}\angle DBA=33,7^\circ\\\angle CBD=70^\circ-33,7^\circ=36,3^\circ\end{array}

ABCD=(0,59,48,6sin(36,3)) cm2A_{BCD}=(0,5\cdot9,4\cdot8,6\cdot\sin\left(36,3^\circ\right))\ \text{cm}^2
ABCDA_{BCD}==(0,59,48,60,5921) cm2=23,9 cm2=(0,5\cdot9,4\cdot8,6\cdot0,5921)\ \text{cm}^2=23,9\ \text{cm}^2

Die Fläche ABCDA_{BCD} des Dreiecks BCDBCD beträgt 23,9 cm223,9\ \text{cm}^2.
2.2
Die Dreiecke ABEABE und BCDBCD besitzen den gleichen Flächeninhalt.
ABCD=AABE\displaystyle A_{BCD}=A_{ABE}

23,9 cm2=0,57,8 cmBEsin(70)23,9 cm2=0,57,8 cmBE0,93969BE=6,5 cm\begin{array}{l}23,9\ \text{cm}^2=0,5\cdot7,8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot\sin\left(70^\circ\right)\\23,9\ \text{cm}^2=0,5\cdot7,8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot0,93969\\\overline{BE}=6,5\ \text{cm}\\\end{array}

AE2=(AB2+BE22ABBEcos(70)) cm2\overline{AE}^2=(\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BE}\cdot\cos\left(70^\circ\right))\ \text{cm}^2
AE2=(7,82+6,5227,86,50,34) cm2\overline{AE}^2=(7,8^2+6,5^2-2\cdot7,8\cdot6,5\cdot0,34)\ \text{cm}^2
AE=8,3 cm\overline{AE}=8,3\ \text{cm}

Die Länge der Strecke AE\overline{AE} beträgt 8,3 cm8,3\ \text{cm}.
2.3
Viereck

Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors, der durch die Strecken [QE][QE], [EP] [EP] und den Kreisbogen PQ\overset{\frown}{PQ} begrenzt wird muss du wissen, wie man die Fläche eines Kreissektors berechnet.

ASektorA_{Sektor} = r2πPEQ360° cmr^2\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}% 
ASektorA_{Sektor} = 9πPEQ360° cm9\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}

Berechne den Winkel PEQ\angle PEQ
AEB=PEQ\angle AEB=\angle PEQ

sin(AEB)7,8 cm\dfrac{\sin\left(\angle AEB\right)}{7,8\ \text{cm}} =sin(70)8,3 cm=\dfrac{\sin\left(70^\circ\right)}{8,3\ \text{cm}}
sin(AEB)=0,947,8 cm8,3 cm\sin\left(\angle AEB\right)=\dfrac{0,94\cdot7,8\ \text{cm}}{8,3\ \text{cm}} =0,88=0,88
AEB=62,0\angle AEB=62,0^\circ,
PEQ=62\angle PEQ=62^\circ

ASektorA_{Sektor} = 9π62°360° cm29\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{62°}{360°}\ \text{cm}^2 = 93,140,17 cm29^\circ\cdot3,14\cdot0,17\ \text{cm}^2= 4,9 cm24,9\ \text{cm}^2

Die Fläche des Kreissektors beträgt 4,9 cm24,9\ \text{cm}^2.
3.0
Die Skizze zeigt den Axialschnitt ABCDABCD eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse MSMS. Dieser Körper dient als Muster zur Herstellung einer Praline. Die Praline besteht aus Schokolade und einer kugelförmigen Cremefüllung. Der Anteil der Schokolade am Volumen der Praline beträgt 89%89\% . Es gilt: MS=5 cm\overline{MS}=5\ \text{cm}; MN=2 cm\overline{MN}=2\ \text{cm}; ADM=71,6.\sphericalangle ADM=71,6^\circ.
Rotationskörper
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
3.1
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Strecken [MD][MD] und [AN][AN] gilt: MD=1,7 cm\overline{MD}=1,7\ \text{cm} und AN=1,0 cm\overline{AN}=1,0\ \text{cm}.
3.2
Errechnen Sie das Volumen VV der Cremefüllung.
3.0
Die Skizze zeigt den Axialschnitt ABCDABCD eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse MSMS. Dieser Körper dient als Muster zur Herstellung einer Praline. Die Praline besteht aus Schokolade und einer kugelförmigen Cremefüllung. Der Anteil der Schokolade am Volumen der Praline beträgt 89%89\%.
MS=5 cm,  MN=2 cm,  ADM=71,6\overline{MS}=5\ \text{cm},\;\overline{MN}=2\ \text{cm},\;\angle ADM=71,6^\circ
3.1
Für diese Teilaufgabe musst du Kenntnisse über den Tangens im rechtwinkligen Dreieck haben.
tan(α)=GegenkatheteAnkathete\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
Außerdem benötigst du den Strahlensatz.

tan(α)=MSMD\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MD}}
tan(71,6)=5 cmMD\tan\left(71,6^\circ\right)=\dfrac{5\ \text{cm}}{\overline{MD}}
3,0=5 cmMD3,0=\dfrac{5\ \text{cm}}{\overline{MD}}
MD=1,7 cm\overline{MD}=1,7\ \text{cm}

Strahlensatz:
AN1,7 cm=(52) cm5 cm\dfrac{\overline{AN}}{1,7\ \text{cm}}=\frac{(5-2)\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}
AN=3 cm1,7 cm5 cm=5,1 cm25 cm=1,0 cm\overline{AN}=\dfrac{3\ \text{cm}\cdot1,7\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=\frac{5,1\ \text{cm}^2}{5\ \text{cm}}=1,0\ \text{cm}
3.2
Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man das Volumen eines Kegels berechnet.
VKegel=13Gh=13r2πhV_{Kegel}=\dfrac13\cdot G\cdot h=\dfrac13\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h

VPraline=VTrapez ABCD=Vgroßer KegelVkleiner KegelV_{Praline}=V_{Trapez \ ABCD}=V_{großer \ Kegel}-V_{kleiner \ Kegel}

VPraline=(131,72π5131,02π(52)) cm3V_{Praline}=\left(\dfrac13\cdot1,7^2\cdot\mathrm\pi\cdot5 - \dfrac13 \cdot 1,0^2\cdot \pi \cdot (5-2)\right)\ \text{cm}^3
VPraline=(132,93,145131,023,143) cm3V_{Praline}=\left(\dfrac13\cdot2,9\cdot3,14\cdot5-\frac13\cdot1,0^2\cdot3,14\cdot3\right)\ \text{cm}^3

VPraline=12,0 cm3V_{Praline}=12,0\ \text{cm}^3

Der Anteil der Füllung an der Praline beträgt (10,89)=0,11%(1-0,89)=0,11\% 
VFu¨llung=0,1112,0 cm3V_{Füllung}=0,11\cdot12,0\ \text{cm}^3

VFu¨llung=1,3 cm3V_{Füllung}=1,3\ \text{cm}^3
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