Teil A

Für die Wertetabelle musst du wissen, wie man mit Potenzen rechnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}5000\cdot1{,}75^0=5000\cdot1=5000\\5000\cdot1{,}75^1=5000\cdot1{,}75=8750\approx9000\\5000\cdot1{,}75^2=5000\cdot3{,}0625=15312{,}5\approx15000\\5000\cdot1{,}75^3=5000\cdot5{,}359375=26796{,}875\approx27000\\5000\cdot1{,}75^4=5000\cdot9{,}37890625=46894{,}53125\approx47000\end{array}$

$5000$ Ladestationen entsprechen $100\;\%$.

$30000$ Ladestationen ergeben $600\;\%$.

Daraus ergibt sich eine Zunahme der Ladestationen um $30000$ von $5000$ auf $35000$.

Zeichne nun eine Parallele zur $x$-Achse bei $35000$ ein.

Durch den Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Graphen zeichne eine Parallele zur $y$-Achse.

Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der $x$-Achse ergibt die gesuchte Anzahl von Jahren.

Nach $3{,}5$ Jahren hat die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\;\%$ zugenommen.

$f:\;y=5000\cdot1{,}75^x$

Aus dem Faktor $1{,}75^x$ ergibt sich, dass in dieser Prognose ein jährliches Wachstum von $75\;\%$ angenommen wurde.

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen $[BD]$ benötigst Du den Satz des Pythagoras.

$\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2=7{,}8\ \text{cm}^2+5{,}2\ \text{cm}^2=60{,}84\ \text{cm}^2$

$\overline{BD}=\sqrt{87{,}88\ \text{cm}^2}=9{,}37\ \text{cm}$

Auf eine Stelle nach dem Komma gerundet beträgt $\overline{BD}=9{,}4\ \text{cm}$.

Für die Berechnung der Dreiecksfläche $A_{ABC}$ musst Du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$A_{BCD}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\left(\gamma\right)$

$A_{BCD}=\frac12\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BC}\cdot\sin\left(\gamma\right)$

$A_{BCD}=\left(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6\cdot\sin\left(\angle CBD\right)\right)\ \text{cm}^2$

$\angle CBD=70^\circ-\angle DBA$

Für die Berechnung des Winkels $\angle DBA$ berechne zunächst den Tangens des Winkels $\angle DBA$, da $\overline{AD}$ und $\overline{AB}$ bekannt sind.

$\tan\left(\angle DBA\right)=\dfrac{5{,}2}{7{,}8}=0{,}6666$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\angle DBA=33{,}7^\circ\\\angle CBD=70^\circ-33{,}7^\circ=36{,}3^\circ\end{array}$

$A_{BCD}=(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6\cdot\sin\left(36{,}3^\circ\right))\ \text{cm}^2$

$A_{BCD}=(0{,}5\cdot9{,}4\cdot8{,}6\cdot0{,}5921)\ \text{cm}^2=23{,}9\ \text{cm}^2$

Die Fläche $A_{BCD}$ des Dreiecks $BCD$ beträgt $23{,}9\ \text{cm}^2$.

Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}23{,}9\ \text{cm}^2=0{,}5\cdot7{,}8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot\sin\left(70^\circ\right)\\23{,}9\ \text{cm}^2=0{,}5\cdot7{,}8\ \text{cm}\cdot\overline{BE}\cdot0{,}93969\\\overline{BE}=6{,}5\ \text{cm}\end{array}$

$\overline{AE}^2=\left(\overline{AB}^2+\overline{BE}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BE}\cdot\cos\left(70^\circ\right)\right)\ \text{cm}^2$

$\overline{AE}^2=(7{,}8^2+6{,}5^2-2\cdot7{,}8\cdot6{,}5\cdot0{,}34)\ \text{cm}^2\hspace{1cm} |\sqrt{}$

$\overline{AE}=8{,}3\ \text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt $8{,}3\ \text{cm}$.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE]$, $[EP]$ und den Kreisbogen $\overset{\frown}{PQ}$ begrenzt wird, musst du wissen, wie man die Fläche eines Kreissektors berechnet.

$A_{Sektor}=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}^2$

$A_{Sektor}=9\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{\angle\mathrm{PEQ}}{360°}\ \text{cm}^2$

Berechne den Winkel $\angle PEQ$

$\angle AEB=\angle PEQ$

Wende nun den Sinussatz im allgemeinen Dreieck an.

$\dfrac{\sin\left(\angle AEB\right)}{7{,}8\ \text{cm}}$ $=\dfrac{\sin\left(70^\circ\right)}{8{,}3\ \text{cm}}$

$\sin\left(\angle AEB\right)=\dfrac{0{,}94\cdot7{,}8\ \text{cm}}{8{,}3\ \text{cm}}$ $=0{,}88$

$\angle AEB=62{,}0^\circ$

$\angle PEQ=62{,}0^\circ$

$A_{Sektor}$ = $9\cdot\mathrm\pi\cdot\dfrac{62^\circ}{360^\circ}\ \text{cm}^2$ = $9\cdot3{,}14\cdot0{,}17\ \text{cm}^2$= $4{,}9\ \text{cm}^2$

Die Fläche des Kreissektors beträgt $4{,}9\ \text{cm}^2$.

Für diese Teilaufgabe musst du Kenntnisse über den Tangens im rechtwinkligen Dreieck haben.

$\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Außerdem benötigst du den Strahlensatz.

$\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MD}}$

$\tan\left(71{,}6^\circ\right)=\dfrac{5\ \text{cm}}{\overline{MD}}$

$3{,}0=\dfrac{5\ \text{cm}}{\overline{MD}}$

$\overline{MD}=1{,}7\ \text{cm}$

Strahlensatz:

$\dfrac{\overline{AN}}{1{,}7\ \text{cm}}=\dfrac{(5-2)\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}$

$\overline{AN}=\dfrac{3\ \text{cm}\cdot1{,}7\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=\dfrac{5{,}1\ \text{cm}^2}{5\ \text{cm}}=1{,}0\ \text{cm}$

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man das Volumen eines Kegels berechnet.

$V_{Kegel}=\dfrac13\cdot G\cdot h=\dfrac13\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h$

$V_{Praline}=V_{Trapez \ ABCD}=V_{großer \ Kegel}-V_{kleiner \ Kegel}$

$V_{Praline}=\left(\dfrac13\cdot1{,}7^2\cdot\mathrm\pi\cdot5 - \dfrac13 \cdot 1{,}0^2\cdot \pi \cdot (5-2)\right)\ \text{cm}^3$

$V_{Praline}=\left(\dfrac13\cdot2{,}9\cdot3{,}14\cdot5-\frac13\cdot1{,}0^2\cdot3{,}14\cdot3\right)\ \text{cm}^3$

$V_{Praline}=12{,}0\ \text{cm}^3$

Der Anteil der Füllung an der Praline beträgt $(1-0{,}89)=0{,}11$

$V_{Füllung}=0{,}11\cdot12{,}0\ \text{cm}^3$

$V_{Füllung}=1{,}3\ \text{cm}^3$