Teil A

Für die Wertetabelle musst du wissen, wie man mit Potenzen rechnet.

$\begin{array}{l}5000\cdot {\mathrm{1,75}}^0=5000\cdot 1=5000\\ 5000\cdot {\mathrm{1,75}}^1=5000\cdot \mathrm{1,75}=8750\approx 9000\\ 5000\cdot {\mathrm{1,75}}^2=5000\cdot \mathrm{3,0625}=\mathrm{15312,5}\approx 15000\\ 5000\cdot {\mathrm{1,75}}^3=5000\cdot \mathrm{5,359375}=\mathrm{26796,875}\approx 27000\\ 5000\cdot {\mathrm{1,75}}^4=5000\cdot \mathrm{9,37890625}=\mathrm{46894,53125}\approx 47000\end{array}$

$5000$ Ladestationen entsprechen $100\%$.

$30000$ Ladestationen ergeben $600\%$.

Daraus ergibt sich eine Zunahme der Ladestationen um $30000$ von $5000$ auf $35000$.

Zeichne nun eine Parallele zur $x$-Achse bei $35000$ ein.

Durch den Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Graphen zeichne eine Parallele zur $y$-Achse.

Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der $x$-Achse ergibt die gesuchte Anzahl von Jahren.

Nach $\mathrm{3,5}$ Jahren hat die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen.

$f:y=5000\cdot {\mathrm{1,75}}^x$

Aus dem Faktor ${\mathrm{1,75}}^x$ ergibt sich, dass in dieser Prognose ein jährliches Wachstum von $75\%$ angenommen wurde.

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen $[BD]$ benötigst Du den Satz des Pythagoras.

${\overline{BD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2=\mathrm{7,8}{\text{cm}}^2+\mathrm{5,2}{\text{cm}}^2=\mathrm{60,84}{\text{cm}}^2$

$\overline{BD}=\sqrt{\mathrm{87,88}{\text{cm}}^2}=\mathrm{9,37}\text{cm}$

Auf eine Stelle nach dem Komma gerundet beträgt $\overline{BD}=\mathrm{9,4}\text{cm}$.

Für die Berechnung der Dreiecksfläche $A_{ABC}$ musst Du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$A_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \left(\gamma \right)$

$A_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{BC}\cdot \sin \left(\gamma \right)$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \sin \left(\angle CBD\right)){\text{cm}}^2$

$\angle CBD={70}^{\circ }-\angle DBA$

Für die Berechnung des Winkels $\angle DBA$ berechne zunächst den Tangens des Winkels $\angle DBA$, da $\overline{AD}$ und $\overline{AB}$ bekannt sind.

$\tan \left(\angle DBA\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{5,2}}{\mathrm{7,8}}}=\mathrm{0,6666}$

$\begin{array}{l}\angle DBA={\mathrm{33,7}}^{\circ }\\ \angle CBD={70}^{\circ }-{\mathrm{33,7}}^{\circ }={\mathrm{36,3}}^{\circ }\end{array}$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \sin \left({\mathrm{36,3}}^{\circ }\right)){\text{cm}}^2$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \mathrm{0,5921}){\text{cm}}^2=\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2$

Die Fläche $A_{BCD}$ des Dreiecks $BCD$ beträgt $\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2$.

Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.

$\begin{array}{l}\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}\cdot \overline{BE}\cdot \sin \left({70}^{\circ }\right)\\ \mathrm{23,9}{\text{cm}}^2=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}\cdot \overline{BE}\cdot \mathrm{0,93969}\\ \overline{BE}=\mathrm{6,5}\text{cm}\end{array}$

${\overline{AE}}^2=({\overline{AB}}^2+{\overline{BE}}^2-2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BE}\cdot \cos \left({70}^{\circ }\right)){\text{cm}}^2$

${\overline{AE}}^2=({\mathrm{7,8}}^2+{\mathrm{6,5}}^2-2\cdot \mathrm{7,8}\cdot \mathrm{6,5}\cdot \mathrm{0,34}){\text{cm}}^2|\sqrt{}$

$\overline{AE}=\mathrm{8,3}\text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt $\mathrm{8,3}\text{cm}$.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE]$, $[EP]$ und den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{P}$ begrenzt wird, musst du wissen, wie man die Fläche eines Kreissektors berechnet.

$A_{Sektor}=r^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{PEQ}}{360°}}{\text{cm}}^2$

$A_{Sektor}=9\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{PEQ}}{360°}}{\text{cm}}^2$

Berechne den Winkel $\angle PEQ$

$\angle AEB=\angle PEQ$

Wende nun den Sinussatz im allgemeinen Dreieck an.

${\displaystyle \frac{\sin \left(\angle AEB\right)}{\mathrm{7,8}\text{cm}}}$ $={\displaystyle \frac{\sin \left({70}^{\circ }\right)}{\mathrm{8,3}\text{cm}}}$

$\sin \left(\angle AEB\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,94}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}}{\mathrm{8,3}\text{cm}}}$ $=\mathrm{0,88}$

$\angle AEB={\mathrm{62,0}}^{\circ }$

$\angle PEQ={\mathrm{62,0}}^{\circ }$

$A_{Sektor}$ = $9\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{{62}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}{\text{cm}}^2$ = $9\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{0,17}{\text{cm}}^2$= $\mathrm{4,9}{\text{cm}}^2$

Die Fläche des Kreissektors beträgt $\mathrm{4,9}{\text{cm}}^2$.

Für diese Teilaufgabe musst du Kenntnisse über den Tangens im rechtwinkligen Dreieck haben.

$\tan \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

Außerdem benötigst du den Strahlensatz.

$\tan \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MD}}}$

$\tan \left({\mathrm{71,6}}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{5\text{cm}}{\overline{MD}}}$

$\mathrm{3,0}={\displaystyle \frac{5\text{cm}}{\overline{MD}}}$

$\overline{MD}=\mathrm{1,7}\text{cm}$

Strahlensatz:

${\displaystyle \frac{\overline{AN}}{\mathrm{1,7}\text{cm}}}={\displaystyle \frac{(5-2)\text{cm}}{5\text{cm}}}$

$\overline{AN}={\displaystyle \frac{3\text{cm}\cdot \mathrm{1,7}\text{cm}}{5\text{cm}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,1}{\text{cm}}^2}{5\text{cm}}}=\mathrm{1,0}\text{cm}$

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man das Volumen eines Kegels berechnet.

$V_{Kegel}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot r^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{h}$

$V_{Praline}=V_{TrapezABCD}=V_{großerKegel}-V_{kleinerKegel}$

$V_{Praline}=({\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\mathrm{1,7}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot 5-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\mathrm{1,0}}^2\cdot \pi \cdot (5-2)){\text{cm}}^3$

$V_{Praline}=({\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{2,9}\cdot \mathrm{3,14}\cdot 5-\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{1,0}}^2\cdot \mathrm{3,14}\cdot 3){\text{cm}}^3$

$V_{Praline}=\mathrm{12,0}{\text{cm}}^3$

Der Anteil der Füllung an der Praline beträgt $(1-\mathrm{0,89})=\mathrm{0,11}$

$V_{F\ddot{u}llung}=\mathrm{0,11}\cdot \mathrm{12,0}{\text{cm}}^3$

$V_{F\ddot{u}llung}=\mathrm{1,3}{\text{cm}}^3$