3.0 Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt ABCDEFGH eines Körpers mit der Rotationsachse MS. Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:
AM=GO=FN=21cm;AM∣∣GO∣∣FN
FG=5cm;FG∣∣ED
∠ASM=16∘;MN=45cm
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
3.1 Berechnen Sie die Längen der Strecken [MS] und [HC].
[Ergebnisse: MS=73,2cm;HC=19,0cm]
3.2 Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen V des Rotationskörpers.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
3.1
Zuerst berechnest du MS, dazu verwendest du den Tangens. Der Winkel φ=∠ASM liegt im Dreieck AMS. Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse AS. Von φ aus gesehen ist MS die Ankathete und AMdie Gegenkathete. Es gilt also die Gleichung:
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du MS=tan(φ)AM. Nun kannst du die Werte für AM und φ einsetzen. Die Lösung ist dann:
Die Strecke MS hat also die Länge 73,2cm.
Nun kannst du noch die Länge von HC berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.
Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:
HO ist halb so lang wie HC und den Wert von HO kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:
Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du HO=MSAM⋅OS.
Den Wert AM=21cm kennst du bereits aus der Angabe, MS=73,2cm hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für OS, dafür kannst du die Strecke MS in zwei Teilstücke aufteilen: MS=OS+MO.
Die Strecke MO ist 5cm kürzer als MN (wegen NO=FG=5cm), also gilt: MO=40cm, damit hast du also auch OS=73,2cm−40cm=33,2cm.
Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:
Wenn du diesen Wert noch mit 2 multiplizierst hast du das Ergebnis HC=2⋅HO=19cm.
3.2
Das VolumenVdes Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen VK des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes ABCH entsteht, und dem Volumen VZ des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks GDEF entsteht.
Zylinder
Der Radius des Zylinders ist GO=21cm und seine Höhe beträgt FG=5cm. Damit kannst du sein Volumen berechnen:
Kegelstumpf
Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen kannst du das Volumen Vkleiner Kegel des kleinen Kegels (Rotation von HCS) vom Volumen Vgesamter Kegel des gesamten Kegels (Rotation von ABS) abziehen.
Der kleine Kegel hat den Radius HO=9,5cm und die Höhe OS=33,2cm.
Der gesamte Kegel hat den Radius AM=21cm und die Höhe MS=73,2cm.
Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:
Rotationskörper
Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumen addierst: