Teil A

Um das Maß des Winkels $\varphi = \sphericalangle ACB$ zu berechnen benötigst du den Kosinussatz. Mit dem Kosinussatz erhältst du die Gleichung:

Wenn du nun auf diese Gleichung die Umkehrfunktion des Kosinus anwendest, erhältst du: $\varphi = \cos^{-1}\left(0{,}8489\right) = 31{,}9° \approx 32°$.

In dieser Teilaufgabe benötigst du Wissen über den Sinus und über Drachenvierecke. Im Dreieck $MBC$ ist $\overline{BC}$ die Hypotenuse und $\overline{BM}$ die Gegenkathete vom Winkel $\varphi$ aus gesehen.

Es gilt also:

Die Länge der Strecke $\overline{BM}$ ist also $39{,}74$ $\text{cm}$. Die Strecke $\overline{BD}$ ist doppelt so lang wie $\overline{BM}$, als Ergebnis erhältst du also:

$\overline{BD} = 2\cdot 39{,}74\ \text{cm} = 79{,}48\ \text{cm} \approx 79\ \text{cm}.$

Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} A &=& 0{,}5\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC} \\ A &=& 0{,}5\cdot 79 \ \text{cm} \cdot 150 \ \text{cm} \\ A &=& 5925 \ \text{cm}^2\end{array}$

Für diese Teilaufgabe benötigst du die Formeln der Prozentrechnung.

Der neue Flächeninhalt ist: $A_{\text{neu}} = 0{,}5\cdot79\ \text{cm}\cdot100 \ \text{cm} = 3950 \ \text{cm}^2$.

Die Fläche, um die sich der Flächeninhalt verringert, beträgt also:

$A_{\text{alt}}-A_{\text{neu}} = (5925 -3950)\;\text{cm}^2 = 1975\;\text{cm}^2$

Dies ist gleichzeitig der Prozentwert $W$ in der Prozentrechnung. Als den Grundwert $G$ betrachtest du den alten Flächeninhalt $A_{\text{alt}} = 5925\;\text{cm}^2$. Den Prozentsatz kannst du jetzt mit der Formel berechnen:

Die Fläche wird also um $33\%$ kleiner.

Alternative: Betrachtung des Verhältnisses

Du kannst auch das Verhältnis der Flächeninhalte betrachten:

Durch Umstellen dieser Gleichung erhältst du: $A_{\text{neu}}= \dfrac23\cdot A_{\text{alt}}$, daran kannst du sehen, dass der neue Flächeninhalt um $\dfrac13 \approx 33\;\%$ kleiner ist, als der alte.

Graphischer Ansatz

Zuerst kannst du das Dreieck $AB_1C_1$ einzeichnen. Für den Punkt $C_1$ suchst du dabei auf der $x$-Achse den Wert $x=3$ und gehst dann senkrecht nach oben bis zur Parabel $p_2$, dort kannst du ihn dann einzeichnen. Für $B_1$ machst du das Gleiche, gehst aber nach unten bis zur Parabel $p_1$.

Rechnerischer Ansatz

Du kannst die Koordinaten von $B_1$ und $C_1$ auch dadurch bestimmen, dass du den Wert $x = 3$ in die Formeln aus der Angabe einsetzt:

So erhältst du die Punkte $B_1(3\vert-5{,}8)$ und $C_1(3\vert3{,}7)$, die du jetzt ganz leicht einzeichnen kannst.

Nun geht es noch darum die Länge der Strecke $\overline{B_nC_n}\ \left(x\right)$ zu bestimmen. Dazu bildest du die Differenz der Funktionsterme der beiden Parabeln, und zwar $p_2-p_1$, weil $p_2$ in diesem Bereich oberhalb von $p_1$ verläuft:

Hier solltest du als Erstes versuchen den Wert für $x$ zu bestimmen, so dass die Strecke die Länge $10$ LE besitzt. Setze dazu den Wert $10$ mit der Formel für die Länge der Strecke aus Teilaufgabe a gleich:

Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Dafür brauchst du auch die Diskriminante der Gleichung:

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Deshalb kannst du auch kein Dreieck $AB_nC_n$ finden, bei dem die Seite $[B_nC_n]$ die Länge $10$ LE besitzt.

Im folgenden Applet kannst du die Punkte $B_n$ und $C_n$ frei bewegen und dir ansehen, wie sich die Länge von $[B_nC_n]$ verändert:

Die Punkte $M_n$ sind Mittelpunkte der Strecken $[B_nC_n]$, ihre Koordinaten kannst du als den Mittelwert der Koordinaten von $B_n$ und $C_n$ berechnen. Es gilt also: $x_{M_n} = \dfrac12(x_{C_n} + x_{B_n})$ und für die $y$-Koordinaten:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} y_{M_n} = \dfrac12\cdot \left(y_{C_n} + y_{B_n}\right) = \dfrac12\left(-0{,}2x^2+1{,}5x+1 + 0{,}4x^2-1{,}8x-4\right) \\ y_{M_n} =\dfrac12\cdot\left(0{,}2x^2-0{,}3x-3\right) = 0{,}1x^2-0{,}15x-1{,}5\end{array}$

Die Basis des Dreiecks ist die Strecke $[B_2C_2]$, da $B_2$ und $C_2$ dieselbe Abszisse haben und das Dreieck gleichschenklig ist, haben der Punkt $A$ und der Punkt $M_n$ die selbe y-Koordinate. Es gilt also:

Diese Gleichung ist wieder mit der Mitternachtsformel lösbar:

Du erhältst die Werte $x_1 = 5{,}81$ und $x_2=-4{,}31$. In der Angabe wurde geklärt, dass $x$ nur positive Werte annehmen soll, deshalb ist die $x$-Koordinate des Punkts $M_n$ also $x_{M_n} = 5{,}81$.

Durch Umstellen der Gleichung erhältst du $\overline{MS} = \dfrac{\overline{AM}}{\tan\left(\varphi\right)}$. Nun kannst du die Werte für $\overline{AM}$ und $\varphi$ einsetzen. Die Lösung ist dann:

Die Strecke $\overline{MS}$ hat also die Länge $73{,}2\ \text{cm}$.

Nun kannst du noch die Länge von $\overline{HC}$ berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.

Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:

$\overline{HO}$ ist halb so lang wie $\overline{HC}$ und den Wert von $\overline{HO}$ kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:

Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du $\overline{HO} = \dfrac{\overline{AM}\cdot\overline{OS}}{\overline{MS}}$.

Den Wert $\overline{AM} = 21\ \text{cm}$ kennst du bereits aus der Angabe, $\overline{MS} = 73{,}2\ \text{cm}$ hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für $\overline{OS}$, dafür kannst du die Strecke $\overline{MS}$ in zwei Teilstücke aufteilen: $\overline{MS}=\overline{OS}+\overline{MO}$.

Die Strecke $\overline{MO}$ ist $5\ \text{cm}$ kürzer als $\overline{MN}$ (wegen $\overline{NO} = \overline{FG} = 5\ \text{cm}$), also gilt: $\overline{MO}=40\ \text{cm}$, damit hast du also auch $\overline{OS} = 73{,}2\ \text{cm} - 40 \ \text{cm}= 33{,}2\ \text{cm}$.

Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:

Wenn du diesen Wert noch mit $2$ multiplizierst hast du das Ergebnis $\overline{HC} = 2\cdot\overline{HO} = 19\ \text{cm}.$

Das Volumen $V$des Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen $V_K$ des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes $ABCH$ entsteht, und dem Volumen $V_Z$ des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks $GDEF$ entsteht.

Zylinder

Der Radius des Zylinders ist $\overline{GO} = 21 \ \text{cm}$ und seine Höhe beträgt $\overline{FG} = 5 \ \text{cm}$. Damit kannst du sein Volumen berechnen:

$V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi\cdot (21 \ \text{cm})^2\cdot 5 \ \text{cm}=6927{,}2 \ \text{cm}^3$

Kegelstumpf

Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen, kannst du das Volumen $V_{\text{kleiner Kegel}}$ des kleinen Kegels (Rotation von $HCS$) vom Volumen $V_{\text{gesamter Kegel}}$ des gesamten Kegels (Rotation von $ABS$) abziehen.

Der kleine Kegel hat den Radius $\overline{HO}= 9{,}5\ \text{cm}$ und die Höhe $\overline{OS}=33{,}2\ \text{cm}$.

Der gesamte Kegel hat den Radius $\overline{AM}=21\ \text{cm}$ und die Höhe $\overline{MS}=73{,}2\ \text{cm}$.

Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{lll} V_K &=& V_{\text{gesamter Kegel}} - V_{\text{kleiner Kegel}} \\ \\ &=& \dfrac13\cdot \pi\cdot\left(21\ \text{cm}\right)^2\cdot73{,}2\ \text{cm} - \dfrac13\cdot\pi\cdot\left(9{,}5\ \text{cm}\right)^2\cdot33{,}2\ \text{cm} \\\\ &=& 33804{,}8\ \text{cm}^3 - 3137{,}7\ \text{cm}^3 = 30667{,}1\ \text{cm}^3 \end{array}$

Rotationskörper

Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumina addierst:

$V = V_K + V_Z = 30667{,}1\ \text{cm}^3\ +\ 6927{,}2\ \text{cm}^3 = 37594{,}3 \ \text{cm}^3.$