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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks ABCDABCD mit der Symmetrieachse ACAC und dem Diagonalenschnittpunkt MM.

    Es gilt: AB=95 cm;    AC=150 cm;    BC=75 cm.\overline{AB}=95 \ \text{cm};\;\;\overline{AC}=150 \ \text{cm};\;\;\overline{BC}=75 \ \text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf Ganze.

    Bild
    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Maß des Winkels ACBACB gilt:

      ACB=32.\sphericalangle ACB=32^\circ.

    2. Berechnen Sie die Länge der Diagonale [BD][BD] und den Flächeninhalt AA des Drachenvierecks ABCDABCD.

      [[Ergebnis: BD=79 cm\overline{BD}=79 \ \text{cm}]]

    3. Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von 100 cm100 \ \text{cm} gibt, beschließt Pia, für die Diagonale [AC] [AC] diese Länge zu verwenden. Die Diagonale [BD][BD] bleibt unverändert.

      Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt dadurch verringert.

  2. 2

    Gegeben sind die Parabeln p1p_1 mit der Gleichung y=0,4x21,8x4y=0{,}4x^2-1{,}8x-4 und p2p_2 mit der Gleichung y=0,2x2+1,5x+1y=-0{,}2x^2+1{,}5x+1 (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Punkte Bn(x0,4x21,8x4)B_n(x\vert0{,}4x^2-1{,}8x-4) auf p1p_1 und Punkte Cn(x0,2x2+1,5x+1)C_n(x\vert-0{,}2x^2+1{,}5x+1) auf p2p_2 haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit A(01)A(0|1) für x]0;6,74[x\in\rbrack0;6{,}74\lbrack Eckpunkte von Dreiecken ABnCnAB_nC_n.

      Zeichnen Sie das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [BnCn][B_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n gilt:

      BnCn(x)=(0,6x2+3,3x+5)\overline{B_nC_n}(x)=\left(-0{,}6x^2+3{,}3x+5\right) LE.

    2. Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken ABnCnAB_nC_n kein Dreieck AB0C0AB_0C_0 gibt, dessen Seite [B0C0][B_0C_0] eine Länge von 1010 LE besitzt.

    3. Die Mittelpunkte MnM_n der Seiten [BnCn][B_nC_n] haben dieselbe Abszisse xx wie die Punkte BnB_n. Zeigen Sie, dass für die yy-Koordinate yMy_M der Punkte MnM_n gilt:

      yM=0,1x20,15x1,5.y_M=0{,}1x^2-0{,}15x-1{,}5.

    4. Das Dreieck AB2C2AB_2C_2 ist gleichschenklig mit der Basis [B2C2][B_2C_2].

      Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punktes M2M_2.

  3. 3

    Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt ABCDEFGHABCDEFGH eines Körpers mit der Rotationsachse MSMS. Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:

    AM=GO=FN=21 cm;    AMGOFN;\overline{AM}=\overline{GO}=\overline{FN}=21\ \text{cm};\;\;AM\vert\vert GO\vert\vert FN;

    FG=5 cm;    FGED\overline{FG}=5 \ \text{cm};\;\;FG\vert\vert ED

    ASM=16;    MN=45 cm\sphericalangle ASM=16^\circ;\;\;\overline{MN}=45\ \text{cm}

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie die Längen der Strecken [MS][MS] und [HC][HC].

      [[Ergebnisse: MS=73,2 cm;    HC=19,0 cm\overline{MS}=73{,}2 \ \text{cm};\;\;\overline{HC}=19{,}0 \ \text{cm}]]

    2. Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen VV des Rotationskörpers.


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