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Aufgaben
1.0 Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks ABCDABCD mit der Symmetrieachse ACAC und dem Diagonalenschnittpunkt MM. Es gilt:
AB=95 cm;    AC=150 cm;    BC=75 cm.\overline{AB}=95 \ \text{cm};\;\;\overline{AC}=150 \ \text{cm};\;\;\overline{BC}=75 \ \text{cm}.
Runden Sie im Folgenden auf Ganze.
Drachenviereck
1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Maß des Winkels ACBACB gilt: ACB=32\angle ACB=32^\circ
1.2 Berechnen Sie die Länge der Diagonale [BD][BD] und den Flächeninhalt AA des Drachenvierecks ABCDABCD.
[Ergebnis: BD=79 cm\overline{BD}=79 \ \text{cm}]
1.3 Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von 100 cm100 \ \text{cm} gibt, beschließt Pia, für die Diagonale [AC] [AC] diese Länge zu verwenden. Die Diagonale [BD][BD] bleibt unverändert. Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt dadurch verringert.
Prozent

1.1
Um das Maß des Winkels φ=ACB\varphi = \angle ACB zu berechnen benötigst du den Kosinussatz. Mit dem Kosinussatz erhältst du die Gleichung:
AB2=AC2+BC22ACBCcos(φ)2ACBCcos(φ)=AC2+BC2AB222500cos(φ)=22500+56259025cos(φ)=22500+5625902522500cos(φ)=0,8489\displaystyle \begin{array}{c} \overline{AB}^2 &=& \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 - 2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\left(\varphi\right) \\2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\left(\varphi\right)&=&\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 -\overline{AB}^2 \\ 22500\cdot\cos\left(\varphi\right) &=& 22500 + 5625 - 9025 \\ \\ \cos\left(\varphi\right) &=& \dfrac{22500 + 5625 - 9025 }{22500} \\ \\ \cos\left(\varphi\right) &=& 0{,}8489 \end{array}
Wenn du nun auf diese Gleichung die Umkehrfunktion des Kosinus anwendest, erhältst du: φ=cos1(0,8489)=31,9°32°\varphi = \cos^{-1}\left(0{,}8489\right) = 31{,}9° \approx 32°.
1.2
In dieser Teilaufgabe benötigst du Wissen über den Sinus und über Drachenvierecke. Im Dreieck MBCMBC ist BC\overline{BC} die Hypotenuse und BM\overline{BM} die Gegenkathete vom Winkel φ\varphi aus gesehen.
Drachenviereck
Es gilt also:
sin(φ)=BMBCBCsin(32°)=BM750,5299=BM\displaystyle \begin{array}{c} \sin\left(\varphi\right) &=& \dfrac{\overline{BM}}{\overline{BC}} \\ \overline{BC}\cdot\sin\left(32°\right) &=& \overline{BM} \\ 75 \cdot 0{,}5299 &=& \overline{BM} \end{array}
Die Länge der Strecke BM\overline{BM} ist also 39,7439{,}74 cm\text{cm}. Die Strecke BD\overline{BD} ist doppelt so lang wie BM\overline{BM}, als Ergebnis erhältst du also: BD=239,74 cm=79,48 cm79 cm.\overline{BD} = 2\cdot 39{,}74\ \text{cm} = 79{,}48\ \text{cm} \approx 79\ \text{cm}.
A=0,5BDACA=0,579 cm150 cmA=5925 cm2\displaystyle \begin{array}{c} A &=& 0{,}5\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC} \\ A &=& 0{,}5\cdot 79 \ \text{cm} \cdot 150 \ \text{cm} \\ A &=& 5925 \ \text{cm}^2\end{array}
1.3
Für diese Teilaufgabe benötigst du die Formeln der Prozentrechnung.
Der neue Flächeninhalt ist: Aneu=0,579 cm100 cm=3950 cm2A_{\text{neu}} = 0{,}5\cdot79\ \text{cm}\cdot100 \ \text{cm} = 3950 \ \text{cm}^2. Die Fläche um die sich der Flächeninhalt verringert beträgt also AaltAneu=59253950=1975A_{\text{alt}}-A_{\text{neu}} = 5925 -3950 = 1975 dies ist gleichzeitig der Prozentwert WW in der Prozentrechnung. Als den Grundwert GG betrachtest du den alten Flächeninhalt Aalt=5925A_{\text{alt}} = 5925. Den Prozentsatz kannst du jetzt mit der Formel berechnen:
p=WG=19755925=1333%\displaystyle p = \dfrac{W}{G}= \dfrac{1975}{5925} = \dfrac13 \approx 33\%
Die Fläche wird also um 33%33\% kleiner.

Alternative: Betrachtung des Verhältnisses

Du kannst auch das Verhältnis der Flächeninhalte betrachten:
AneuAalt=3950 cm25925 cm2=23\displaystyle \dfrac{A_{\text{neu}}}{A_{\text{alt}}} = \dfrac{3950\ \text{cm}^2}{5925\ \text{cm}^2} = \dfrac23
Durch Umstellen dieser Gleichung erhältst du: Aneu=23AaltA_{\text{neu}}= \dfrac23\cdot A_{\text{alt}}, daran kannst du sehen, dass der neue Flächeninhalt um 1333%\dfrac13 \approx 33\% kleiner ist, als der alte.
2.0 Gegeben sind die Parabeln p1p_1 mit der Gleichung y=0,4x21,8x4y=0,4x^2-1,8x-4 und p2p_2 mit der Gleichung y=0,2x2+1,5x+1y=-0,2x^2+1,5x+1 (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2 Parabeln
2.1 Punkte Bn(x0,4x21,8x4)B_n(x\vert0,4x^2-1,8x-4) auf p1p_1 und Punkte Cn(x0,2x2+1,5x+1)C_n(x\vert-0,2x^2+1,5x+1) auf p2p_2 haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit A(01)A(0|1) für x]0;6,74[x\in\rbrack0;6,74\lbrack Eckpunkte von Dreiecken ABnCnAB_nC_n.
Zeichnen Sie das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zu 2.0 ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [BnCn][B_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n gilt:
BnCn(x)=(0,6x2+3,3x+5)\overline{B_nC_n}(x)=\left(-0,6x^2+3,3x+5\right) LE.
2.2 Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken ABnCnAB_nC_n kein Dreieck AB0C0AB_0C_0 gibt, dessen Seite [B0C0][B_0C_0] eine Länge von 1010 LE besitzt.
2.3 Die Mittelpunkte MnM_n der Seiten [BnCn][B_nC_n] haben dieselbe Abszisse xx wie die Punkte BnB_n. Zeigen Sie, dass für die yy-Koordinate yMy_M der Punkte MnM_n gilt:
yM=0,1x20,15x1,5y_M=0,1x^2-0,15x-1,5
2.4 Das Dreieck AB2C2AB_2C_2 ist gleichschenklig mit der Basis [B2C2][B_2C_2]. Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punktes M2M_2.
2.1

Graphischer Ansatz

Zuerst kannst du das Dreieck AB1C1AB_1C_1 einzeichnen. Für den Punkt C1C_1 suchst du dabei auf der xx-Achse den Wert x=3x=3 und gehst dann senkrecht nach oben bis zur Parabel p2p_2, dort kannst du ihn dann einzeichnen. Für B1B_1 machst du das Gleiche, gehst aber nach unten bis zur Parabel p1p_1.
Zeichnung des Dreiecks in das Koordinatensystem

Rechnerischer Ansatz

Du kannst die Koordinaten von B1B_1 und C1C_1 auch dadurch bestimmen, dass du den Wert x=3x = 3 in die Formeln aus der Angabe einsetzt:
Bn(x0,4x21,8x4)B1(30,4321,834)Cn(x0,2x2+1,5x+1)C1(30,232+1,53+1)\displaystyle \begin{array}{c} B_n(x\vert0{,}4x^2-1{,}8x-4) &\Rightarrow& B_1(3\vert0{,}4\cdot3^2-1{,}8\cdot3-4) \\ C_n(x\vert-0{,}2x^2+1{,}5x+1) &\Rightarrow& C_1(3\vert-0{,}2\cdot3^2+1{,}5\cdot3+1) \end{array}
So erhältst du die Punkte B1(35,8)B_1(3\vert-5{,}8) und C1(33,7)C_1(3\vert3{,}7), die du jetzt ganz leicht einzeichnen kannst.
Nun geht es noch darum die Länge der Strecke BnCn (x)\overline{B_nC_n}\ \left(x\right) zu bestimmen. Dazu bildest du die Differenz der Funktionsterme der beiden Parabeln, und zwar p2p1p_2-p_1, weil p2p_2 in diesem Bereich oberhalb von p1p_1 verläuft:
BnCn(x)\overline{B_nC_n}\left(x\right)==[ 0,2x2+1,5x+1y-Wert von  Cn(0,4x21,8x4)y-Wert von  Bn]LE\left[\ \overbrace{-0,2x^2+1,5x+1}^{\text{y-Wert von}\; C_n}-\overbrace{\left(0,4x^2-1,8x-4\right)}^{\text{y-Wert von}\;B_n}\right]\text{LE}
==(0,6x2+3,3x+5)LE\left(-0,6x^2+3,3x+5\right)\text{LE}
2.2
Hier solltest du als Erstes versuchen den Wert für xx zu bestimmen, so dass die Strecke die Länge 1010 LE besitzt. Setze dazu den Wert 1010 mit der Formel für die Länge der Strecke aus 2.1 gleich:
10=0,6x2+3,3x+50=0,6x2+3,3x5\displaystyle \begin{array}{c} 10 &=& -0{,}6x^2 + 3{,}3x + 5 \\ 0 &=& -0{,}6x^2 + 3{,}3x - 5 \end{array}
Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Dafür brauchst du auch die Diskriminante der Gleichung:
D=3,324(0,6)(5)=1,11\displaystyle D = 3{,}3^2 - 4\cdot\left(-0{,}6\right)\cdot\left(-5\right) = -1{,}11
Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Deshalb kannst du auch kein Dreieck ABnCnAB_nC_n finden, bei dem die Seite [BnCn][B_nC_n] die Länge 1010 LE besitzt.
Im folgenden Applet kannst du die Punkte BnB_n und CnC_n frei bewegen und dir ansehen, wie sich die Länge von [BnCn][B_nC_n] verändert:
GeoGebra
2.3
Die Punkte MnM_n sind Mittelpunkte der Strecken [BnCn][B_nC_n], ihre Koordinaten kannst du als den Mittelwert der Koordinaten von BnB_n und CnC_n berechnen. Es gilt also: xMn=12(xCn+xBn)x_{M_n} = \dfrac12(x_{C_n} + x_{B_n}) und für die yy-Koordinaten:
yMn=12(yCn+yBn)=12(0,2x2+1,5x+1+0,4x21,8x4)yMn=12(0,2x20,3x3)=0,1x20,15x1,5\displaystyle \begin{array}{c} y_{M_n} = \dfrac12\cdot \left(y_{C_n} + y_{B_n}\right) = \dfrac12\left(-0{,}2x^2+1{,}5x+1 + 0{,}4x^2-1{,}8x-4\right) \\ y_{M_n} =\dfrac12\cdot\left(0{,}2x^2-0{,}3x-3\right) = 0{,}1x^2-0{,}15x-1{,}5\end{array}
2.4
Die Basis des Dreiecks ist die Strecke [B2C2][B_2C_2], da B2B_2 und C2C_2 dieselbe Abszisse haben und das Dreieck gleichschenklig ist, haben der Punkt AA und der Punkt MnM_n die selbe y-Koordinate. Es gilt also:
1=yMn=0,1x20,15x1,50=0,1x20,15x2,5\displaystyle 1 = y_{M_n}=0{,}1x^2-0{,}15x-1{,}5 \\ 0 = 0{,}1x^2-0{,}15x-2{,}5
Diese Gleichung ist wieder mit der Mitternachtsformel lösbar:
x1,2=0,15±0,15240,1(2,5)20,1\displaystyle x_{1,2}=\frac{0,15\pm\sqrt{0,15^2-4\cdot0,1\cdot\left(-2,5\right)}}{2\cdot0,1}
Du erhältst die Werte x1=5,81x_1 = 5{,}81 und x2=4,31x_2=-4{,}31. In der Angabe wurde geklärt, dass xx nur positive Werte annehmen soll, deshalb ist die xx-Koordinate des Punkts MnM_n also xMn=5,81x_{M_n} = 5{,}81.
3.0 Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt ABCDEFGHABCDEFGH eines Körpers mit der Rotationsachse MSMS. Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:
AM=GO=FN=21 cm;    AMGOFN\overline{AM}=\overline{GO}=\overline{FN}=21\ \text{cm};\;\;AM\vert\vert GO\vert\vert FN
FG=5 cm;    FGED\overline{FG}=5 \ \text{cm};\;\;FG\vert\vert ED
ASM=16;    MN=45 cm\angle ASM=16^\circ;\;\;\overline{MN}=45\ \text{cm}
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
Rotationsachse
3.1 Berechnen Sie die Längen der Strecken [MS][MS] und [HC][HC].
[Ergebnisse: MS=73,2 cm;    HC=19,0 cm\overline{MS}=73,2 \ \text{cm};\;\;\overline{HC}=19,0 \ \text{cm}]
3.2 Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen VV des Rotationskörpers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz

3.1
Rotationskörper Kegel mit Rechteck
Zuerst berechnest du MS\overline{MS}, dazu verwendest du den Tangens. Der Winkel φ= ASM\varphi=\ \angle ASM liegt im Dreieck AMSAMS. Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse AS\overline{AS}. Von φ\varphi aus gesehen ist MS\overline{MS} die Ankathete und AM \overline{AM}\ die Gegenkathete. Es gilt also die Gleichung:
tan(φ)=GegenkatheteAnkathete=AMMS\displaystyle \tan\left(\varphi\right)= \dfrac{\green{\text{Gegenkathete}}}{\orange{\text{Ankathete}}} =\frac{\overline{AM}}{\overline{MS}}
tan(φ)=AMMSMSMStan(φ)=AM ⁣:tan(φ)MS=AMtan(φ)\displaystyle \begin{array}{rcl}\tan\left(\varphi\right) &=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{MS}} \quad &|& \cdot\overline{MS} \\ \\ \overline{MS}\cdot\tan\left(\varphi\right) &=& \overline{AM} &|& \colon\tan\left(\varphi\right) \\ \\ \overline{MS} &=& \dfrac{\overline{AM}}{\tan\left(\varphi\right)} \end{array}
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du MS=AMtan(φ)\overline{MS} = \dfrac{\overline{AM}}{\tan\left(\varphi\right)}. Nun kannst du die Werte für AM\overline{AM} und φ\varphi einsetzen. Die Lösung ist dann:
MS=21 cmtan(16°)73,2 cm\displaystyle \overline{MS}=\dfrac{21\ \text{cm}}{\tan\left(16°\right)} \approx 73{,}2\ \text{cm}
Die Strecke MS\overline{MS} hat also die Länge 73,2 cm73{,}2\ \text{cm}.
Nun kannst du noch die Länge von HC\overline{HC} berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.
Strahlensatz am Rotationskörper
Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:
MSOS=AMHO\displaystyle \dfrac{\green{\overline{MS}}}{\blue{\overline{OS}}} = \dfrac{\orange{\overline{AM}}}{\orange{\overline{HO}}}
HO\overline{HO} ist halb so lang wie HC\overline{HC} und den Wert von HO\overline{HO} kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:
MSOS=AMHOHOHOMSOS=AMOSHOMS=AMOS ⁣:MSHO=AMOSMS\displaystyle \begin{array}{rc} \dfrac{\overline{MS}}{\overline{OS}} &=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{HO}} &\vert& \cdot \overline{HO} \\ \\ \overline{HO}\cdot\dfrac{\overline{MS}}{\overline{OS}} &=& \overline{AM} &\vert& \cdot\overline{OS} \\ \\ \overline{HO}\cdot\overline{MS} &=& \overline{AM}\cdot\overline{OS} &\vert& \colon\overline{MS} \\ \\ \overline{HO} &=& \dfrac{\overline{AM}\cdot\overline{OS}}{\overline{MS}} \end{array}
Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du HO=AMOSMS\overline{HO} = \dfrac{\overline{AM}\cdot\overline{OS}}{\overline{MS}}.

Den Wert AM=21 cm\overline{AM} = 21\ \text{cm} kennst du bereits aus der Angabe, MS=73,2 cm\overline{MS} = 73{,}2\ \text{cm} hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für OS\overline{OS}, dafür kannst du die Strecke MS\overline{MS} in zwei Teilstücke aufteilen: MS=OS+MO\overline{MS}=\overline{OS}+\overline{MO}.

Die Strecke MO\overline{MO} ist 5 cm5\ \text{cm} kürzer als MN\overline{MN} (wegen NO=FG=5 cm\overline{NO} = \overline{FG} = 5\ \text{cm}), also gilt: MO=40 cm\overline{MO}=40\ \text{cm}, damit hast du also auch OS=73,2 cm40 cm=33,2 cm\overline{OS} = 73{,}2\ \text{cm} - 40 \ \text{cm}= 33{,}2\ \text{cm}.
Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:
HO=21 cm33,2 cm73,2 cm=9,5 cm\displaystyle \overline{HO} = \dfrac{21\ \text{cm}\cdot33{,}2\ \text{cm}}{73{,}2\ \text{cm}} = 9{,}5\ \text{cm}
Wenn du diesen Wert noch mit 22 multiplizierst hast du das Ergebnis HC=2HO=19 cm.\overline{HC} = 2\cdot\overline{HO} = 19\ \text{cm}.
3.2
Das Volumen VVdes Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen VKV_K des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes ABCHABCH entsteht, und dem Volumen VZV_Z des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks GDEFGDEF entsteht.
Kegelstumpf mit Zylinder

Zylinder

Der Radius des Zylinders ist GO=21 cm\overline{GO} = 21 \ \text{cm} und seine Höhe beträgt FG=5 cm\overline{FG} = 5 \ \text{cm}. Damit kannst du sein Volumen berechnen:
VZ=(21 cm)2π5 cm=6927,2 cm3\displaystyle V_Z = \left(21\ \text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot5\ \text{cm}= 6927{,}2\ \text{cm}^3

Kegelstumpf

Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen kannst du das Volumen Vkleiner KegelV_{\text{kleiner Kegel}} des kleinen Kegels (Rotation von HCSHCS) vom Volumen Vgesamter KegelV_{\text{gesamter Kegel}} des gesamten Kegels (Rotation von ABSABS) abziehen.
Der kleine Kegel hat den Radius HO=9,5 cm\overline{HO}= 9{,}5\ \text{cm} und die Höhe OS=33,2 cm\overline{OS}=33{,}2\ \text{cm}.
Der gesamte Kegel hat den Radius AM=21 cm\overline{AM}=21\ \text{cm} und die Höhe MS=73,2 cm\overline{MS}=73{,}2\ \text{cm}.
Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:
VK=Vgesamter KegelVkleiner Kegel=13(21 cm)2π73,2 cm13(9,5 cm)2π33,2 cm=33804,8 cm33137,7 cm3=30667,1 cm3\displaystyle \begin{array}{lll} V_K &=& V_{\text{gesamter Kegel}} - V_{\text{kleiner Kegel}} \\ \\ &=& \dfrac13\left(21\ \text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot73{,}2\ \text{cm} - \dfrac13\left(9{,}5\ \text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot33{,}2\ \text{cm} \\\\ &=& 33804{,}8\ \text{cm}^3 - 3137{,}7\ \text{cm}^3 = 30667{,}1\ \text{cm}^3 \end{array}

Rotationskörper

Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumen addierst:
V=VK+VZ=30667,1 cm3 + 6927,2 cm3=37594,3 cm3.\displaystyle V = V_K + V_Z = 30667{,}1\ \text{cm}^3\ +\ 6927{,}2\ \text{cm}^3 = 37594{,}3 \ \text{cm}^3.
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