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Kurs

Lineare Gleichungen in Anwendungssituationen

1 KursĂŒbersicht

In diesem Kurs lernst du:

  • Wie man aus einer Textaufgabe eine Gleichung erstellen kann.

Bevor du diesen Kurs bearbeitest, solltest du Folgendes wissen:

Die Bearbeitung des Kurses dauert ca. 9090 min.

2 Die Sommerparty

Zu einer Sommerparty erscheinen 40 GĂ€ste. Nachdem 13 Jungen gegangen sind, sind es noch doppelt so viele MĂ€dchen wie Jungen.

Wie viele MĂ€dchen waren auf der Party?

tanzende Frauen mit unterschiedlich farbigem Hintergrund

Solche Aufgaben hast du bestimmt schon hĂ€ufig gesehen. Welche Lösungsstrategie es dafĂŒr gibt, wirst du auf den folgenden Kursseiten erarbeiten.

3 Variable einfĂŒhren

ZunÀchst musst du entscheiden, was in dem Kontext die Variable (zum Beispiel xx) sein könnte.

Schau dir dazu das Beispiel an:

Zu einer Sommerparty erscheinen 40 GĂ€ste. Nachdem 13 Jungen gegangen sind, sind es noch doppelt so viele MĂ€dchen wie Jungen.

Wie viele MĂ€dchen waren auf der Party?

Gefragt ist danach, wie viele MĂ€dchen auf der Party sind. Also nimmst du am besten die Anzahl von MĂ€dchen als Variable.

x=Anzahl der Mašdchenx=\text{Anzahl der MĂ€dchen}

Merke

Schreibe am Anfang deiner Bearbeitung immer auf, welche GrĂ¶ĂŸe du als xx bezeichnest!

Bearbeite nun die folgende Aufgabe:

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4 Gleichung aufstellen

Um die Aufgabe lösen zu können, musst du nun zunÀchst eine lineare Gleichung aufstellen. Diese enthÀlt die Variable xx (in unserem Fall die Anzahl an MÀdchen).

Streiche dir zunÀchst wichtige Aussagen in der Aufgabe an:

Zu einer Sommerparty erscheinen 40 GĂ€ste. Nachdem 13 Jungen gegangen sind, sind es noch doppelt so viele MĂ€dchen wie Jungen.

Wie viele MĂ€dchen waren auf der Party?

Du betrachtest die Beziehungen der GrĂ¶ĂŸen zueinander:

GĂ€ste am Anfang - 13 Jungen = MĂ€dchen + Jungen (=HĂ€lfte der MĂ€dchen)

Ersetze in dieser Wortgleichung alle bekannten GrĂ¶ĂŸen durch Zahlen oder Variablen:

40−13 = x+12x\displaystyle 40-13\ =\ x+\frac{1}{2}x

Schon hast du das Ziel erreicht! Du hast eine lineare Gleichung aufgestellt!

Trainiere diesen Schritt mit der folgenden Aufgabe:

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5 Gleichung lösen

Wenn du eine Gleichung aufgestellt hast, kannst du sie wie eine lineare Gleichung lösen.

Zu einer Sommerparty erscheinen 40 GĂ€ste. Nachdem 13 Jungen gegangen sind, sind es noch doppelt so viele MĂ€dchen wie Jungen. Wie viele MĂ€dchen waren auf der Party?

Aufgestellte Gleichung:

40−13 = x+12x\displaystyle 40-13\ =\ x+\frac{1}{2}x

Lösen durch Äquivalenzumformungen:

27 = 1,5 x                âˆŁ:1,5 \qquad 27\ =\ 1{,}5\ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:1{,}5

ï»żï»żï»ż 27:1,5=x\ 27:1{,}5 = x

 18=x\qquad\ 18 = x

Super! Die Gleichung ist gelöst. Du weißt nun, dass x=18x=18 ist.

Trainiere diesen Schritt mit der folgenden Aufgabe:

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6 Ergebnis ĂŒberprĂŒfen

Im letzten Schritt musst du nun ĂŒberprĂŒfen, ob das Ergebnis Sinn ergibt und eine Antwort formulieren.

FĂŒr die Beispielaufgabe könntest du das Ergebnis sofort ausschließen, wenn du eine Dezimalzahl wie x=19,4x=19{,}4 oder eine negative Zahl wie x=−18x=-18 herausbekommen hĂ€ttest, da die Anzahl von MĂ€dchen nur eine natĂŒrliche Zahl sein kann.

Du hast aber fĂŒr die Anzahl an MĂ€dchen x=18x=18 herausgefunden. Das erscheint zunĂ€chst plausibel.

Um zu ĂŒberprĂŒfen, ob das stimmt, wird die Umkehraufgabe gerechnet:

  • Wir kennen die Anzahl der GĂ€ste am Anfang: 4040

  • Die Anzahl an MĂ€dchen: 1818

  • Also muss die Anzahl an Jungen am Anfang 40−18=2240-18=22 sein

  • Wenn 13 Jungen gehen, sind es also noch 22−13=922-13=9 Jungen

  • Das ist die HĂ€lfte von 1818, also die HĂ€lfte der Anzahl von MĂ€dchen am Ende der Party ⇒\Rightarrow Die Rechnung stimmt!

Formuliere nun noch einen Antwortsatz:

Es sind 18 MĂ€dchen auf der Party.

7 Zusammenfassung

Du kennst nun vier Schritte zum Lösen von Sachaufgaben mit einer linearen Gleichung. Hier kommen sie nochmal in einer kurzen Zusammenfassung:

Du kennst jetzt vier Schritte zum Lösen von Sachaufgaben mit einer linearen Gleichung. Hier folgt nochmal eine kurze Zusammenfassung:

  1. Variable einfĂŒhren

  2. Gleichung aufstellen

  3. Gleichung lösen

  4. Ergebnis ĂŒberprĂŒfen, Antwortsatz schreiben

Beispielaufgabe

8 Übungsaufgaben

Wende das gelernte Wissen auf die folgenden Übungen an:

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