Aufgaben zur Flächenberechnung an ebenen Vielecken

Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Baums.

cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.

Der Flächeninhalt $\mathrm{A_{Baum}}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:

\displaystyle \mathrm{A_{Baum}=A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}+A'_{\Delta_2}+A_{\Delta_3}+A'_{\Delta_3}+A_{\square}}

Da der Baum symmetrisch ist, gelten folgende Beziehungen:

\displaystyle \mathrm{A_{Baum}=A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}+A'_{\Delta_2}+A_{\Delta_3}+A'_{\Delta_3}+A_{\square}}

Also gilt : $\mathrm{A_{Baum}= A_{\Delta_1}+2\cdot A_{\Delta_2}+2\cdot A_{\Delta_3}+A_{\square}}$

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks berechnen.

Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_2}}$ :

$\mathrm{A_{\Delta_2}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 1 \text{\cm}^2}$

Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_3}}$ :

$\mathrm{A_{\Delta_3}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{\cm}^2}$

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{\Delta_1}$ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.

Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_1}}$ :

$\mathrm{A_{\Delta_1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{\cm}^2}$

Zur Bestimmung des Flächeninhalts des Rechtecks $\mathrm{A_{\square}}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.

$\mathrm{A_{\square}= 2 {\cm} \cdot 6{\cm}= 12{\cm}^2}$

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks addieren, um $\mathrm{A_{Baum}}$ zu bestimmen.

\displaystyle \mathrm{A_{Baum}=A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}+A'_{\Delta_2}+A_{\Delta_3}+A'_{\Delta_3}+A_{\square}}

Der Flächeninhalt des Baums beträgt somit $20 \text{ cm}^2$ .

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