Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;y=x-1{,}5\\\;\;y=x^2-4x+2{,}5\end{array}$

Funktionen gleichsetzen.

$x-1{,}5=x^2-4x+2{,}5$

Rechne: ${}-x+1{,}5$

$0=x^2-4x-x+2{,}5+1{,}5$

$0=x^2-5x+4$

Mitternachtsformel anwenden $\;\rightarrow$ Diskriminante $D$ berechnen.

$D=25-4\cdot4=9$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=\frac{5-\sqrt9}2=1\\x_2=\frac{5+\sqrt9}2=4\end{array}$

$y$-Werte berechnen. $\rightarrow$ $x_1$ in Gleichung einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=1\;\\\Rightarrow\;y_1\;=f(x_1)=1-1{,}5=-0{,}5\end{array}$

$\Rightarrow S_{1\;}(1\mid-0{,}5)$

$x_2$ in Gleichung einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_2=4\\\Rightarrow\;\;y_2=f(x_2)=4-1{,}5=2{,}5\end{array}$

$\Rightarrow\;S_{2\;}\left(4\mid2{,}5\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} f\left( x\right)&=&g\left(\mathrm x\right)&\\- x^2+1&=& ax^2- a&\vert+ a\vert+ x^2\\1+\ a&=& x^2\left(1+\ a\right)&\vert:\left(1+ a\right)\\ x^2&=&1&\vert\sqrt{}\\ x&=&\pm1&\end{array}$