Cheatsheet zur Funktionsmodellierung

ganzrationale Funktion n-ten Grades

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f(x)=a{x}^n+b{x}^{n-1}+c{x}^{n-2}+\cdots f(x)=ax^n+bx^\{n-1\}+cx^\{n-2\}+\backslash cdots$

ganzrationale Funktion 4. Grades $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+ef(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

ganzrational, ist achsensymmetrisch (zur y-Achse)

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

nur Vorkommen von $xx$ mit geraden Exponenten, sowie +Zahl

ganzrational, achsensymmetrisch, Grad 4 $\Rightarrow f(x)=a{x}^4+c{x}^2+e\backslash Rightarrow\; f(x)\; =ax^4+cx^2+e$

ganzrational, ist punktsymmetrisch (zum Ursprung)

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

nur Vorkommen von $xx$ mit ungeraden Exponenten, also kein +Zahl

ganzrational, punktsymmetrisch zum Ursprung, Grad 3 $\Rightarrow f(x)=a{x}^3+cx\backslash Rightarrow\; f(x)=ax^3\; +\; cx$

Graph verläuft durch den Punkt $P(x_P\mathrm{/}{y}_P)P(x\_P/y\_P)$

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f(x_P)=y_{P}f(x\_P)=y\_P$

z.B. $P(2\mathrm{/}3)\in fP(2/3)\backslash in\; f$ $\iff f(2)=3\backslash Leftrightarrow\; f(2)=3$

Graph schneidet die y-Achse bei $y=y_{S}y=y\_S$

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f(0)=y_{S}f(0)=y\_S$

Graph schneidet y-Achse bei $y=3y=3$ $\iff f(0)=3\backslash Leftrightarrow\; f(0)=3$

Funktion hat eine (einfache) Nullstelle / Graph schneidet die x-Achse bei $x=x_{N}x=x\_N$

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f(x_N)=0f(x\_N)=0$

Funktion hat Nullstelle bei $x=2x=2$ $\iff f(2)=0\backslash Leftrightarrow\; f(2)=0$

Graph berührt die x-Achse bei $x=x_{N}x=x\_N$

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f(x_N)=0f^{\mathrm{\prime }}(x_N)=0f(x\_N)=0\backslash \backslash \; f\text{'}(x\_N)=0$

Graph berührt x-Achse bei $x=2x=2$ $\iff f(2)=0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\backslash Leftrightarrow\; f(2)=0,\; f\text{'}(2)=0$

Graph hat einen Extrempunkt bei $x=x_{E}x=x\_E$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$f^{\mathrm{\prime }}(x_E)=0f\text{'}(x\_E)=0$

Graph hat einen Extrempunkt bei $x=2x=2$ $\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\backslash Rightarrow\; f\text{'}(2)=0$

Graph hat einen Terrassenpunkt bei $x=x_{E}x=x\_E$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$f^{\mathrm{\prime }}(x_E)=0f\text{'}(x\_E)=0$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_E)=0f\text{'}\text{'}(x\_E)=0$

Graph hat einen Terrassenpunkt bei $x=1x=1$ $\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\backslash Rightarrow\; f\text{'}(1)=\; 0,f\text{'}\text{'}(1)=0$

Funktion hat eine Wendestelle bei $x=x_{W}x=x\_W$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_W)=0f\text{'}\text{'}(x\_W)=0$

Funktion hat Wendestelle bei $x=1x=1$ $\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\backslash Rightarrow\; f\text{'}\text{'}(1)=0$

Graph hat bei $x=x_{M}x=x\_M$ die Steigung $mm$

$\iff \backslash Leftrightarrow$

$f^{\mathrm{\prime }}(x_M)=mf\text{'}(x\_M)=m$

Graph hat bei $x=2x=2$ die Steigung $m=-1m=-1$ $\iff f^{\mathrm{\prime }}(2)=-1\backslash Leftrightarrow\; f\text{'}(2)=-1$

Graph schneidet den Graphen der Funktion g bei $x=x_{S}x=x\_S$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$f(x_S)=g(x_S)f(x\_S)=g(x\_S)$

Graph schneidet $g(x)=x^{2}g(x)=x^2$ bei $x=2x=2$ $\Rightarrow f(2)=2^2\backslash Rightarrow\; f(2)=2^2$