Cheatsheet zur Funktionsmodellierung

Diese Liste kann niemals vollständig sein und ist als Gedächtnisstütze und Wiederholung gedacht. Lerne sie nicht auswendig, sondern prüfe und festige dein Wissen.

Beachte die Pfeile und passe auf, dass du nicht falsch herum folgerst:

$\Rightarrow$ (Implikation, Wenn links gilt, dann gilt rechts) lesbar nur in eine Richtung. Die Umkehrung gilt NICHT.

$\Leftrightarrow$ (Äquivalenz, Sobald das eine gilt, gilt das andere) kann von beiden Seiten aus gelesen werden.

Eigenschaft In Worten	Leserichtung	Übersetzung in Erklärung / Term / Gleichung(en)	konkretes Beispiel als Term/Gleichung
ganzrationale Funktion n-ten Grades	$\Leftrightarrow$	$f (x) = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 2} + \dots$	ganzrationale Funktion 4. Grades $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$
ganzrational, ist achsensymmetrisch (zur y-Achse)	$\Rightarrow$	nur Vorkommen von $x$ mit geraden Exponenten, sowie +Zahl	ganzrational, achsensymmetrisch, Grad 4 $\Rightarrow f (x) = a x^{4} + c x^{2} + e$
ganzrational, ist punktsymmetrisch (zum Ursprung)	$\Rightarrow$	nur Vorkommen von $x$ mit ungeraden Exponenten, also kein +Zahl	ganzrational, punktsymmetrisch zum Ursprung, Grad 3 $\Rightarrow f (x) = a x^{3} + c x$
Graph verläuft durch den Punkt $P (x_{P} / y_{P})$	$\Leftrightarrow$	$f (x_{P}) = y_{P}$	z.B. $P (2 / 3) \in f$ $\Leftrightarrow f (2) = 3$
Graph schneidet die y-Achse bei $y = y_{S}$	$\Leftrightarrow$	$f (0) = y_{S}$	Graph schneidet y-Achse bei $y = 3$ $\Leftrightarrow f (0) = 3$
Funktion hat eine (einfache) Nullstelle / Graph schneidet die x-Achse bei $x = x_{N}$	$\Leftrightarrow$	$f (x_{N}) = 0$	Funktion hat Nullstelle bei $x = 2$ $\Leftrightarrow f (2) = 0$
Graph berührt die x-Achse bei $x = x_{N}$	$\Leftrightarrow$	$\begin{array}{l} f (x_{N}) = 0 \\ f^{'} (x_{N}) = 0 \end{array}$	Graph berührt x-Achse bei $x = 2$ $\Leftrightarrow f (2) = 0, f^{'} (2) = 0$
Graph hat einen Extrempunkt bei $x = x_{E}$	$\Rightarrow$	$f^{'} (x_{E}) = 0$	Graph hat einen Extrempunkt bei $x = 2$ $\Rightarrow f^{'} (2) = 0$
Graph hat einen Terrassenpunkt bei $x = x_{E}$	$\Rightarrow$	$f^{'} (x_{E}) = 0$ $f^{''} (x_{E}) = 0$	Graph hat einen Terrassenpunkt bei $x = 1$ $\Rightarrow f^{'} (1) = 0, f^{''} (1) = 0$
Funktion hat eine Wendestelle bei $x = x_{W}$	$\Rightarrow$	$f^{''} (x_{W}) = 0$	Funktion hat Wendestelle bei $x = 1$ $\Rightarrow f^{''} (1) = 0$
Graph hat bei $x = x_{M}$ die Steigung $m$	$\Leftrightarrow$	$f^{'} (x_{M}) = m$	Graph hat bei $x = 2$ die Steigung $m = - 1$ $\Leftrightarrow f^{'} (2) = - 1$
Graph schneidet den Graphen der Funktion g bei $x = x_{S}$	$\Rightarrow$	$f (x_{S}) = g (x_{S})$	Graph schneidet $g (x) = x^{2}$ bei $x = 2$ $\Rightarrow f (2) = 2^{2}$
Graph berührt den Graphen von/die Tangente $g$ an $x_{B}$	$\Rightarrow$	$\begin{array}{l} f (x_{B}) = g (x_{B}) \\ f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B}) \end{array}$	Graph berührt für $x = 2$ den Graph von $g (x) = x^{2}$ $\Rightarrow f (2) = 2^{2}$ und $f^{'} (2) = g^{'} (2)$

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