Hier lernst du

• wie man Schnittpunkte der Graphen von gebrochen rationalen Funktionen mit der $xx$- und der $yy$-Achse bestimmt

• wie man Schnittpunkte von zwei Graphen bestimmen kann

• wie man dies auf Sachaufgaben anwenden kann

Du solltest schon wissen:

• was eine gebrochen rationale Funktion ist

• was eine lineare Funktion ist

• wie man Bruchterme vereinfacht

• wie man Bruchgleichungen löst

Ein kleines Unternehmen stellt Computer her. Die Abteilung für die Produktion stellt fest, dass die Herstellungskosten von einem Computer stark von der Stückzahl, die insgesamt produziert werden abhängt.

Die Marktforschungsabteilung hat herausgefunden, dass man diese Art von Computer zu einem Preis von $750\text{ €}750\backslash \; €$ verkaufen sollte, da sie sonst vom Kunden als zu teuer angesehen werden.

Die Geschäftsleitung fragt sich nun: Wie viele Computer müssen wir mindestens produzieren und verkaufen, dass sich das für uns lohnt?

Was Schnittpunkte von Graphen von gebrochen rationalen Funktionen eigentlich sind und wie man sie graphisch bestimmt, siehst du im Video.

Schnittpunkte graphisch bestimmen:

• Zeichnen beider Graphen, je genauer, desto besser das Ergebnis

• Schnittpunkt(e) auslesen: $xx$- und $yy$- Koordinate bestimmen!

Um ein genaueres Ergebnis zu erhalten, kann man den Schnittpunkt auch ausrechnen.

Am Schnittpunkt sind $xx$ und $yy$-Wert beider Funktionen gleich.

Um den Schnittpunkt zu erhalten, setzt man die Funktionsterme gleich.

Zur Wiederholung:

bei $g\left(x\right)=\frac{1}{x+3}g\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{x+3\}$ ist der y-Wert: $g\left(x\right)=y=\frac{1}{x+3}g\backslash left(x\backslash right)=y=\backslash frac\{1\}\{x+3\}$

Bei unserem Beispiel sieht das also so aus:

Der y-Wert von $f(x)f(x)$ muss gleich der Geraden $y=750y=750$ sein.

Lässt man das $yy$ weg, so erhält man eine Bruchgleichung. Löse diese!

Der Schnittpunkt befindet sich also bei dem $xx$-Wert $\mathrm{114,375}114\{,\}375$.

Wenn die Firma mehr als $\mathrm{114,375}114\{,\}375$ Rechner herstellt (also mehr als $115115$), so macht sie Gewinn.

Der Schnittpunkt hat auch noch eine $yy$-Koordinate. Dazu setzt man den $xx$-Wert wieder in eine der Funktionen ein. Hier ist das einfach, da die eine Funktion $y=750y=750$ ist!

Der Schnittpunkt ist also $S(\mathrm{114,375}\mathrm{\mid }750)S(114\{,\}375|750)$

Ab einer verkauften Stückzahl von $115115$ Computern macht die Firma also Gewinn.

Schnittpunkte rechnerisch bestimmen:

• Setze die beiden Funktionen, deren Schnittpunkt du finden möchtest, gleich.

• Löse anschließend nach dem $xx$-Wert auf.

• Setze den $xx$-Wert in eine der beiden Funktionen ein, um den $yy$-Wert des Schnittpunkts zu erhalten.

• Schreibe einen Antwortsatz oder halte den Schnittpunkt in der Form $S(x_s\mathrm{\mid }{y}_s)S(x\_s|y\_s)$ fest.

In vielen Aufgaben wird nach den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen gefragt.

Die $xx$-Achse kann man auch als Funktion $y=0y=0$ ausdrücken. Die $yy$-Achse wird durch $x=0x=0$ beschrieben.

Die Schnittpunkte mit der $xx$-Achse kann man also so ausrechnen, wie du es in den letzten Aufgaben schon gemacht hast.

Die Schnittpunkte mit der $yy$-Achse ($x=0x=0$) bestimmst du, indem du in die Funktion (z.B. $f(x)f(x)$) für $xx$ die null einsetzt ($f(0)f(0)$) und den Funktionswert berechnest.

Beispiel: $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-4}+2f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{2x-4\}+2$

Bestimmen wir zunächst den Schnittpunkt mit der $xx$-Achse (die Nullstelle der Funktion):

Dies ist der Schnittpunkt von $f(x)f(x)$ und $y=0y=0$:

Man kann also folgende Bruchgleichung aufstellen:

Diese wird nun nach $xx$ aufgelöst:

Der Schnittpunkt mit der $xx$-Achse liegt also bei $x=\mathrm{1,75}x=1\{,\}75$ und $y=0y=0$.

$S_x(\mathrm{1,75}\mathrm{\mid }0)S\_x(1\{,\}75|0)$

Der Schnittpunkt mit der $yy$-Achse wird bestimmt, indem man $x=0x=0$ in die Funktion einsetzt:

Der Schnittpunkt mit der $yy$-Achse: $S_y(0\mathrm{\mid }-\mathrm{2,25})S\_y(0|-2\{,\}25)$

Schnittpunkte von gebrochen rationalen Funktionen mit anderen Funktionen können graphisch oder rechnerisch gelöst werden.

Graphische Lösung: (ungenauer als die rechnerische Lösung)

• Zeichne beide Graphen in ein Koordinatensystem

• Lies alle Schnittpunkte der Graphen ab

Rechnerische Lösung:

• Am Schnittpunkt sind $xx$- und $yy$-Wert gleich.

• Setze die Funktionsterme gleich und löse nach $xx$ auf.

• Setze den $xx$-Wert in eine der Funktionen ein, um auf den $yy$-Wert zu kommen.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

• Mit der $xx$-Achse: Berechne den Schnittpunkt des Graphen mit $y=0y=0$

• Mit der $yy$-Achse: Setze $x=0x=0$ in den Funktionsterm ein, um auf den $yy$-Wert zu kommen.