Lineare (Un)abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit sind Begriffe aus der Vektorgeometrie.

Zwei oder mehr Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren bilden lässt.

Definition

Zwei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie kolinear, d.h. parallel verlaufen:

linear abhängige Vektoren

Drei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie komplanar, d.h. in einer Ebene sind und man mit ihnen eine geschlossene Vektorkette bilden kann.

Gilt dies nicht, sind die Vektoren linear unabhängig.

Bild linear abhängige und unabhängige Vektoren

Insbesondere folgt daraus bereits, dass drei Vektoren im  R2\mathbb{R}^2  immer linear abhängig sind, da sie sich alle in einer Ebene befinden. 

 

Allgemeine Definition

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial ist (trivial wäre, einfach von allen Vektoren das Nullfache zu nehmen).

Geht das nicht, so sind sie linear unabhängig.

Berechnung bei zwei Vektoren

Zwei Vektoren u\overrightarrow u  und  v\overrightarrow v  sind dann linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:   v=ku  \overrightarrow v=k\cdot\overrightarrow u\; mit kRk\in ℝ

 

Beispiel 1 

Die zwei Vektoren  v1=(21)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}  und  v2=(63)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}  sind linear abhängig, da  v2=3v1\overrightarrow{v_2}=3\cdot\overrightarrow{v_1}

 

Beispiel 2 

Die zwei Vektoren  v1=(13)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}  und  v2=(410)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}  sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man  v2\overrightarrow{v_2}  ausdrücken als  kv1k\cdot\overrightarrow{v_1}. Das ist nicht möglich, da die erste Komponente der Vektoren  k=4k=4  impliziert - das passt aber nicht zur zweiten Komponente, da  43=12104\cdot3=12\neq10

 

Beispiel 3

Die zwei Vektoren  v1=(134)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}  und  v2=(41216)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\12\\16\end{pmatrix}  sind linear abhängig, da  v2=4v1\overrightarrow{v_2}=4\cdot\overrightarrow{v_1}

 

Beispiel 4 

Die zwei Vektoren  v1=(221)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}  und  v2=(664)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}6\\6\\4\end{pmatrix}  sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man  v2\overrightarrow{v_2}  ausdrücken als  kv1k\cdot\overrightarrow{v_1}. Das ist nicht möglich, da die erste und zweite Komponente der Vektoren  k=3k=3  impliziert, das aber nicht zur dritten Komponente passt - schließlich gilt  31=343\cdot1=3\neq4

Berechnung bei drei Vektoren

Drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. Dabei dürfen allerdings nicht alle k-Parameter gleich null sein.

 

Formel zur Überprüfung

k1v1+k2v2+k3v3=0k_1\overrightarrow{v}_1+k_2\overrightarrow{v}_2+k_3\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}  

Beispiel 1 

Die drei Vektoren  v1=(11)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}v2=(23)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}  und  v3=(75)\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}  sind linear abhängig, da z. B.  11v1+2v2+v3=0-11\cdot\overrightarrow{v_1}+2\cdot\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}  gilt. 

 

Beispiel 2 

Die drei Vektoren  v1=(231)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}2\\3\end{array}\\1\end{pmatrix}v2=(341)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}3\\4\end{array}\\1\end{pmatrix}  und  v3=(200)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}2\\0\end{array}\\0\end{pmatrix}  sind linear unabhängig, da sie sich nicht in einer Ebene befinden. 

 

Beispiel 3 

Die drei Vektoren  v1=(412)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}4\\1\end{array}\\2\end{pmatrix}v2=(333)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}3\\3\end{array}\\3\end{pmatrix}  und  v3=(254)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}-2\\-5\end{array}\\-4\end{pmatrix}  sind linear abhängig, da z. B.  v12v2v3=0\overrightarrow{v_1}-2\cdot\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}  gilt.

Übungsaufgaben

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