Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b\in\mathbb{R}$, sodass gilt

$\overrightarrow{u}=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$.

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text{I}&7&=&-5\cdot a&+&(-1)\cdot b\\\text{II}&12& =&-5\cdot a&+&\frac23\cdot b\end{array}$

$\Rightarrow a=-2, \;b=3$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b∈\mathbb R$, sodass gilt

$\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text I & 1&=&1\cdot a&+&2\cdot b\\\text{II}&1&=&2\cdot a&+&1\cdot b\end{array}$

$\displaystyle\Rightarrow a=\frac13,\;b=\frac13$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b,c∈\mathbb R$, sodass gilt

$\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a,b$ und $c$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}\text I&-3&=&1\cdot a&+&1\cdot b&+&1\cdot c\\\text{II}&5&=&1\cdot a&+&1\cdot b&&\\\text{III}&6&=&&&1\cdot b&+&1\cdot c\end{array}$

$\Rightarrow a=-9,\;b=14,\;c=-8$.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.

$\Rightarrow a=0, \;b=0$. Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nur gelöst für $a=b=0$ und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear unabhängig.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.

Setze nun $a=1{,}5b$ in $\text{II}$ ein.

Die Gleichung ist immer erfüllt. Also müssen $a$ und $b$ nur die Gleichung $a=1{,}5b$ erfüllen. Für beispielsweise $b=1$ und $a=1{,}5\cdot1=1{,}5$ ist die Gleichung also erfüllt und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear abhängig.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$ sind linear unabhängig, wenn du drei Zahlen $a,b,c\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass

$a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ und $a$, $b$ und $c$ gleichzeitig $0$ sind.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:

$\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda &=2\\ II)&3\mu&=1\\ III)& -\lambda&=2 \end{array}$

Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für $\lambda$. Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:

$\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda-\mu &=0\\ II)&2\lambda-\mu&=4\\ III)& -3\lambda+2\mu&=-4 \end{array}$

Forme die erste Gleichung um:

$I) \lambda=\mu$

Setze in II ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll} II)&2\mu-\mu&=4\\ &\mu&=4 \end{array}$

Und die erste Gleichung liefert

$I) \lambda =4$

Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}III)&-3\cdot4+2\cdot 4&=-4\\&-4&=-4\end{array}$

Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.

Da die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben $\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$ untersuchen.

Alternativ prüfst du $\lambda\cdot \vec{c}+\mu\cdot \vec b=\vec a$

Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&2\lambda-3\mu &=1\\ II)&4\lambda+6\mu&=-2\\ III)& -4\lambda-6\mu&=2 \end{array}$

Forme z.B. die erste Gleichung um: $I) 2\lambda =1+3\mu$

Setze in die II. Gleichung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} II)&2\cdot2\lambda-3\mu&=1\\ &2(1+3\mu)-3\mu&=1\\ &2+6\mu-3\mu&=1&|-2\\ &3\mu&=-1&|:3\\ &\mu&=-\frac 1 3 \end{array}$

Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:

$I)2\lambda=1+3\cdot\left(-\frac 1 3\right)\\ I)\lambda=0$

Setze in Gleichung III ein:

$III) -4\cdot 0-6\cdot \left(-\frac 1 3\right)=2\\ III)2=2$

Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.