Aufgaben zu Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken

Hier findest du Aufgaben zur Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken. Teste dich mit Multiple Choice Fragen und übe mit Rechen- und Zeichenaufgaben.

1
Multiple Choice Test zur Kongruenz von Dreiecken
1. Dreiecke, die in allen Winkeln übereinstimmen, sind stets kongruent.
  falsch
  wahr
2. Kongruente Dreiecke stimmen in allen Winkeln überein.
  wahr
  falsch
3. Dreiecke, die in allen Winkeln übereinstimmen sind ähnlich.
  wahr
  falsch
4. Ähnliche Dreiecke sind kongruent.
  falsch
  wahr
5. Kongruente Dreiecke sind auch ähnlich.
  wahr
  falsch
6. Dreiecke, die in 2 Winkeln übereinstimmen, sind ähnlich
  wahr
  falsch
7. Dreiecke, die in 2 Winkeln übereinstimmen, sind kongruent.
  falsch
  wahr
8. Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, sind kongruent
  wahr
  falsch
9. Dreiecke, die in 2 Seiten übereinstimmen sind kongruent.
  falsch
  wahr
10. Alle rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich.
  falsch
  wahr
11. Alle gleichseitigen Dreiecke sind kongruent.
  falsch
  wahr
12. Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.
  falsch
  richtig
2
Gegeben ist das schraffierte Dreieck.
Zeichne ein Dreieck, das in allen Winkeln übereinstimmt, aber nicht kongruent ist. Ein Eckpunkt soll dabei der hervorgehobene Punkt sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke
Dreieck zeichnen, indem man zwei Parallelen zu den Strecken $C B$ und $A B$ durch den Punkt D zeichnet. Jetzt eine Gerade durch die Punkte A und C zeichnen. Das jetzt entstandene Dreieck ACD hat die gleichen Winkel wie das Dreieck ACB, ist aber nicht kongruent .
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Welche der folgenden Dreiecke sind zueinander kongruent? Begründe deine Antwort mit einem passenden Kongruenzsatz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenz
Um zu erkennen, dass das $rote$ und das $lila$ Dreieck kongruent sind, kannst du den SWS-Satz verwenden. Beide Dreiecke haben Seiten der Länge $3 cm$ und $4 cm$ und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel beträgt bei beiden $90 °$ .
Das $grüne$ und $orange$ Dreieck sind auch kongruent. Bei beiden Dreiecken hast du jeweils zwei Winkel und die dazwischenliegende Seitenlänge gegeben. Die Winkel und die Seitenlänge stimmen auch überein. Hier gilt also der WSW-Satz.
Beim $türkisen$ und $schwarzen$ Dreieck hast du jeweils alle drei Seitenlängen gegeben. Weil diese alle miteinander übereinstimmen, kannst du mit dem SSS-Satz feststellen, dass sie kongruent sind.
Bei beiden Dreiecken hast du auch jeweils alle Winkel gegeben, du könntest statt dem SSS-Satz also auch einen beliebigen anderen Kongruenzsatz verwenden, um festzustellen, dass die Dreiecke kongruent sind.
Das $grüne$ und $lila$ Dreieck sind nicht kongruent. Da der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber liegt, ist beim $grünen$ Dreieck die Seite gegenüber dem Winkel $51,34 °$ länger als $4 cm$ . Aber beim $lilanen$ Dreieck hast du als Seitenlänge einmal $4 cm$ und einmal $3 cm$ gegeben. Somit stimmen die Seiten der beiden Dreiecke nicht überein und die Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.
Wirf einen Blick auf die Kongruenzsätze und überlege dir für die einzelnen Dreiecke, welchen du verwenden könntest.
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Überprüfe, ob bei den gegebenen Informationen ähnliche Dreiecke $A$ und $B$ vorliegen. Dazu nenne den passenden Ähnlichkeitssatz und zeige, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind.
1. $A : a = 3 cm, b = 7 cm, c = 5 cm$
  $B : a^{'} = 4,5 cm, b^{'} = 10,5 cm, c^{'} = 7,5 cm$
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S S S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $W W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind nicht ähnlich.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S W S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S s W$ -Satz.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
  Der passende Ähnlichkeitssatz ist $S S S$ , da drei Seitenlängen gegeben sind. Hier müssen drei Seitenverhältnisse berechnet werden, damit Ähnlichkeit vorliegt. Es gilt:
  $\frac{a^{'}}{a} = \frac{4,5}{3} = 1,5$
  $\frac{b^{'}}{b} = \frac{10,5}{7} = 1,5$
  $\frac{c^{'}}{c} = \frac{7,5}{5} = 1,5$
  Damit sind $A$ und $B$ ähnlich. Schreibe
  $A \sim B .$
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  Welche Art von Informationen sind gegeben, Seiten (S) oder Winkel (W)? Wähle dann einen passenden Ähnlichkeitssatz und überprüfe, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
2. $A : α = 105 °, β = 46 °$
  $B : α^{'} = 105 °, γ^{'} = 29 °$
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $W W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S S S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S W S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S s W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind nicht ähnlich.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
  Der richtige Ähnlichkeitssatz lautet $W W$ , denn es sind zwei Winkel angegeben. Eine Schwierigkeit ist es hier jedoch, dass nicht $β^{'}$ gegeben ist. Da jedoch die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180 °$ beträgt, lässt sich $β^{'}$ bestimmen:
  $β^{'} = 180 ° - 105 ° - 29 ° = 46 °$
  Damit stimmen die Winkel $α, β$ mit $α^{'}, β^{'}$ überein. Die Dreiecke sind ähnlich:
  $A \sim B$
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  Welche Art von Informationen sind gegeben, Seiten (S) oder Winkel (W)? Wähle dann einen passenden Ähnlichkeitssatz und überprüfe, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
3. $A : b = 8 cm, a = 5 cm, β = 47 °$
  $B : b^{'} = 6 cm, a^{'} = 3,75 cm, β^{'} = 47 °$
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S s W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S W S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S S S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $W W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind nicht ähnlich.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
  Der richtige Ähnlichkeitssatz lautet $S s W$ . Zu überprüfen sind also die beiden Seitenverhältnisse und ob die Winkel, gegenüber der längeren Seite, übereinstimmen.
  $\frac{b^{'}}{b} = \frac{6}{8} = 0,75$
  $\frac{a^{'}}{a} = \frac{3,75}{5} = 0,75$
  $β = β^{'} = 47 °$
  Damit sind $A$ und $B$ ähnlich.
  $A \sim B$
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  Welche Art von Informationen sind gegeben, Seiten (S) oder Winkel (W)? Wähle dann einen passenden Ähnlichkeitssatz und überprüfe, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
4. $A : a = 4,5 cm, c = 8 cm, β = 30 °$
  $B : a = 13,5 cm, c = 16 cm, β^{'} = 30 °$
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S s W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S W S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $W W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S S S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind nicht ähnlich.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
  Die Angaben würden zur Anwendung des $S W S$ -Satzes führen. Beim Überprüfen der beiden Seitenverhältnisse ergibt sich jedoch:
  $\frac{a^{'}}{a} = \frac{13,5}{4,5} = 3$
  $\frac{b^{'}}{b} = \frac{16}{8} = 2$
  Die Seitenverhältnisse sind damit nicht gleich, es liegt keine Ähnlichkeit vor.
  $A ≁ B$
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  Welche Art von Informationen sind gegeben, Seiten (S) oder Winkel (W)? Wähle dann einen passenden Ähnlichkeitssatz und überprüfe, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
5. $A$ und $B$ sind gleichschenklige Dreiecke mit den Informationen:
  $A : γ = 94 °$
  $B : α^{'} = 43 °$
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S S S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S s W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $S W S$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind ähnlich wegen dem $W W$ -Satz.
  $A$ und $B$ sind nicht ähnlich.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
  Da hier gleichschenklige Dreiecke vorliegen gilt:
  $α = β$ bzw. im zweiten Dreieck $α^{'} = β^{'}$ .
  Da von Dreieck $A$ allerdings nur $γ = 94 °$ bekannt ist, müssen die verbleibenden Winkel ausgerechnet werden. Aufgrund der Winkelsumme müssen $α$ und $β$ zusammen mit $γ$ , $180 °$ ergeben.
  Das heißt $α$ und $β$ ergeben zusammen: $180 ° - 94 ° = 86 °$
  Da die beiden Winkel gleich sind, betragen sie jeweils $43 °$ .
  Die Dreiecke stimmen damit in zwei Winkel überein und sind damit ähnlich:
  $A \sim B$
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  Verwende die Information, dass $A$ und $B$ gleichschenklig sind, welche Daten ergeben sich dadurch?
  Welche Art von Informationen sind gegeben, Seiten (S) oder Winkel (W)? Wähle dann einen passenden Ähnlichkeitssatz und überprüfe, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.