Sachaufgaben zu Kreisflächen

1
Auf einer kreisrunden umzäunten Koppel mit der Fläche von $314\m^2$ stehen zwei Pferde. Die beiden Pferde verstehen sich nicht gut und kämpfen oft miteinander. Aus diesem Grund wird beschlossen die Koppel in der Mitte zu teilen. Berechne die zusätzliche Zaunlänge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Mit der Formel des Flächeninhalts $A$ kann der Radius der Koppel berechnet werden. Dafür ist auch das Rechnen mit Quadratwurzeln nötig.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} r^2 \cdot \pi =& A &|\div \pi\\\\ r^2 =& A \div \pi &| \text{Werte}\: \text{einsetzen}\\\\ r^2 =& 314\m^2 \div 3{,}14 \\\\ r^2 =& 100\m^2 &|\text{Wurzel \: ziehen} \\\\ \sqrt{r^2} =& \sqrt{100\m^2} \\\\ r =& 10\m \end{array}$
Der Radius der Koppel beträgt $10\m$ . Der Zaun ist so lang wie der Durchmesser des Koppel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcl}\text{Durchmesser} &=& 2 \cdot r \\\\ &=& 2\cdot 10\m \\\\ &=& 20\m\end{array}$
Um die Koppel zu teilen, werden $20\m$ Zaun benötigt.
2
Ein kreisförmiger Teller besitzt einen Durchmesser von 30 cm. Berechne den Flächeninhalt des Tellers. Runde das Ergebnis auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Der Teller besitzt die Form eines Kreises. Somit kann der Flächeninhalt des Tellers mithilfe der Formel für den Kreisflächeninhalt berechnet werden:
$\displaystyle A = \pi r^2$
Da in der Aufgabenstellung der Durchmesser $d$ gegeben ist, musst du zuerst den Radius $r$ daraus berechnen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} d = 2r \Rightarrow r &=& \dfrac{d}{2} \\\\ r &=& \dfrac{30\,\mathrm{cm}}{2} \\\\ r &=& 15 \,\mathrm{cm} \end{array}$
Diesen Wert kannst du nun in die Formel einsetzen und den Flächeninhalt berechnen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A &=& \pi r^2 \\ A &=& \pi \cdot (15 \,\mathrm{cm})^2 \\ A &=& \pi \cdot 225 \,\mathrm{cm^2} \approx 707 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Daraus folgt, dass der Teller einen Flächeninhalt von ca. $707 \,\mathrm{cm^2}$ besitzt.

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1{,}20\ m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50\ cm$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15\ cm$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$\mathbf{Breite}$	$\mathbf{Länge}$
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{A}$	140 cm	260 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{B}$	150 cm	250 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{C}$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Tischdecke A

Damit die Tischdecke an allen Seiten $15\ cm$ übersteht, muss sie um $30\ cm$ länger und breiter sein, als der Tisch.

$b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm$

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

$140\ cm-120\ cm=20\ cm$

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten $30\ cm$ .

$20~cm\leq30\;cm$

⇒ Also fällt Tischdecke A weg.

Tischdecke B

$150~cm-120~cm\;=30\;cm$

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

$30\ cm\ge30\ cm$

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

$l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30~cm$

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

$250\ cm-\left(2\cdot60\ cm+2\cdot50\ cm\right)=$ $250\ cm-220\ cm\ge30\ cm\$

$30\ cm=30\ cm$

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um $30\ cm$ über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als $30\ cm$ über, da der Tisch abgerundet ist. $\Rightarrow$ Das heißt: Tischdecke B ist ideal.

Prüfe Tischdecke C

Zuerst wird die Breite überprüft.

$160\ cm-120\ cm\ge30\ cm$

$40\ cm\ge30\ cm$

⇒ Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

$240\ cm-220\ cm\ge30\ cm$

$20\ cm\le30\ cm$

⇒ Jedoch ist sie nicht lang genug, um $30\ cm$ überzustehen.

$\Rightarrow$ Deshalb ist auch C nicht geeignet.

A: Tischdecke B eignet sich.

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$\displaystyle U_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r\cdot \pi +2\cdot 2\cdot b$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0{,}6\cdot \mathrm{\pi }+4\cdot 0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 5{,}77\ \text{m}$

$\displaystyle A_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(b\cdot l\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(0{,}5\cdot 1{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 2{,}33\ \text{m}^2$