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Fakultät

Die Fakultät n!n! ist eine Schreibweise für das Produkt aller Zahlen 1,2,3,,n1{,}2,3,\ldots,n. Sie wird vor allem in der Kombinatorik oft verwendet, weil die Fakultät n!n! die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine beliebige Menge mit nn Elementen zu ordnen. So gibt es 3!=123=63!=1\cdot 2\cdot 3=6 Möglichkeiten, wie sich drei Personen für ein Foto aufstellen können.

Definition

Als Fakultät n!n! einer natürlichen Zahl nn bezeichnet man das Produkt der Zahlen von 11 bis nn:

n!=123  .  .  .  (n1)nn!=1\cdot2\cdot3\cdot\;.\;.\;.\;\cdot(n-1)\cdot n

Außerdem ist festgelegt, dass 0!=10!=1.

Einfache Beispiele

Anwendungen in der Kombinatorik

Permutationen

Die Fakultät einer Zahl nn berechnet die Anzahl der Permutationen einer n-Elementigen Menge. Sie gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge mit nn Elementen zu sortieren.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient (nk)\binom nk gibt die Anzahl der Möglichkeiten wieder, kk Elemente aus einer Menge mit nn Elementen zu ziehen. Der Binomialkoeffizient kann mit Hilfe der Fakultät berechnet werden:

Beispielaufgaben

1.

2.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Kombinatorik im typischen Sinn

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