3Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$ und $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$. Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man $v_{1}$ und $v_{2}$ zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon ob man zuerst $v$ mit $\lambda$ multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit $\lambda$ multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.