Lineare Abbildungen und Erhaltung von Linearkombinationen
2Beispiel
Wir können auf eine Linearkombination wie 3⋅u+5⋅w−2⋅z für Vektoren u,w und z aus V die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:
f(3⋅u+5⋅w−2⋅z)
=
↓
Additivität von f
=
f(3⋅u)+f(5⋅w−2⋅z)
↓
Additivität von f
=
f(3⋅u)+f(5⋅w)+f(−2⋅z)
↓
Homogenität von f
=
3⋅f(u)+5⋅f(w)−2⋅f(z)
Die Linearkombination 3⋅u+5⋅w−2⋅z wird durch f auf 3⋅f(u)+5⋅f(w)−2⋅f(z) abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) sind Summen und durch die Eigenschaft f(λ⋅v)=λ⋅f(v) sind skalare Multiplikationen herausziehbar.
Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:
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