4Wie kommt man auf den Beweis

Lösungsweg

Wir wollen zeigen, dass für alle $v_i\in Vv\_i\; \backslash in\; V$ und ${\lambda }_i\in K\backslash lambda\_i\; \backslash in\; K$ gilt:

$f\left({\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{\cdot }_V{v}_i\right)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{\cdot }_{W}f(v_i)⟺ff\backslash bigg(\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash lambda\_\{i\}\backslash cdot\_\{V\}v\_\{i\}\backslash bigg)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash lambda\_\{i\}\; \backslash cdot\_\{W\}f(v\_\{i\})\; \backslash iff\; f$ ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zunutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass $ff$ eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.