Der Graph der Grundfunktion $h\left(x\right)=x^2$ ist die Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel im Ursprung des Koordinatensystems.

Der zu zeichnende Graph der Funktion f ergibt sich durch Verschieben der Normalparabel um 4 Einheiten nach oben.

Berechnung des gemeinsamen Punktes der Graphen $G_f$ und $G_4$

$x^2+4=4\cdot x$

$x^2-4x+4=0$

$\left(x-2\right)^2=0$

$x=2\$ ist doppelte Lösung

Damit hat man als gemeinsamen Punkt einen Berührpunkt, $B\left(2;8\right)$

Man setzt die Funktionsterme gleich und sucht diejenigen $m$, für die die Gleichung keine Lösung hat.

$x^2+4=m\cdot x$

$x^2-m\cdot x+4=0$ quadratische Ergänzung

$x^2-m\cdot x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4$

$x^2-m\cdot x+\left(\frac{m}{2}\right)^2\ =-4+\frac{m^2}{4}$

$\left(x-\frac{m}{2}\right)^2=\frac{\left(-16+m^2\right)}{4}$ , da Quadrate nie negativ sind, muss $-16+m^2<0$ sein.

$m^2<16 \iff -4<m<4.$

Für die Steigungen m, die zwischen -4 und 4 liegen, gibt es keine gemeinsame Punkte.