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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion h: xxln(x2)x\mapsto x\cdot \ln(x²) mit maximalem Definitionsbereich DhD_h.

    1. Geben Sie DhD_h an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion h′ von h gilt: h(x)=ln(x2)+2h'(x)=\ln(x²)+2

    2. Bestimmen Sie die xx-Koordinate des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von hh.

  2. 2

    Die Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_{f'} der Ableitungsfunktion f′ einer in R\mathbb{R} definierten ganzrationalen Funktion f. Nur in den Punkten (4f(4))(-4|f'(-4)) und (5f(5)(5|f'(5) hat der Graph GfG_{f'} waagrechte Tangenten.

    Graph einer Funktion
    1. Begründen Sie, dass ff genau eine Wendestelle besitzt.

    2. Es gibt Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen GfG_{f'} der Ableitungsfunktion f′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat

  3. 3

    Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f:xx2+4f: x \mapsto x²+4 und

    gm:xmxg_m: x \mapsto m\cdot x mit mRm \in\mathbb{R}. Der Graph von f wird mit GfG_f und der Graph von gmg_mmit GmG_m bezeichnet.

    1. Skizzieren Sie GfG_f in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen GfG_f und G4G_4.

    2. Es gibt Werte von m, für die die Graphen GfG_f und GmG_m jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von m an

  4. 4

    Gegeben ist die Funktion gg mit g(x)g(x) = 0,7 \cdot e0,5xe^{0{,}5x} - 0,7 und xx R.\in\mathbb{R}.

    Die Funktion gg ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen GgG_g von gg sowie einen Teil des Graphen GhG_h der Umkehrfunktion hh von gg.

    Graph einer Funktion

    a) Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von GhG_h ein.

    b) Betrachtet wird das von den Graphen GgG_g und GhG_h eingeschlossene Flächenstück. Schraffieren Sie den Teil dieses Flächenstücks, dessen Inhalt mit dem Term

    202,5(xg(x))dx2 \cdot \int_{0}^{2{,}5} (x-g(x)) \mathrm{d}x berechnet werden kann.

    c) Geben Sie den Term einer Stammfunktion der in R\mathbb{R} definierten Funktion

    k: x \mapsto x - g(x) an.


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