Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion h: $x \mapsto x \cdot \ln (x^{2})$ mit maximalem Definitionsbereich $D_{h}$ .
1. Geben Sie $D_{h}$ an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion h′ von h gilt: $h^{'} (x) = \ln (x^{2}) + 2$
  
  Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.
  Das Argument des $\ln$ ist hier $x^{2}$ . Quadrate sind nie negativ und nur gleich Null, wenn die Basis gleich Null ist. Also gilt für den Definitionsbereich $D_{h} = ℝ ∖ {0}$ .
  Zur Berechnung der 1. Ableitung benötigt man die Produktregel: Also ist
  $h^{'} (x) = \ln ⁡ (x^{2}) + x \cdot \frac{2 x}{x^{2}} = \ln (x^{2}) + 2.$
  Kettenregel: Eine verkettete Funktion besteht aus äußerer und innerer Funktion. Die Kettenregel lautet: Ableitung der verketteten Funktion ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion (an Stelle der inneren Funktion) mal Ableitung der inneren Funktion.
  ${f (g (x)}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Bestimmen Sie die $x$ -Koordinate des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von $h$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Die Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extremstellen.
  Daher setzt man: $h^{'} (x) = 0$
  Also:
  $\ln (x^{2}) + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln (x^{2}) = - 2 \Leftrightarrow x^{2} = e^{- 2}$ .
  Somit gibt es zwei mögliche Lösungen.
  Nämlich:
  $x_{1} = - \frac{1}{e} \lor x_{2} = \frac{1}{e}$
  Da nach dem Hochpunkt im II. Quadranten gefragt ist, liegt der (mögliche) Hochpunkt an der Stelle $x_{1}$ .
  $y_{1} = h (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- 2}) = \frac{2}{e} \cdot \ln e = \frac{2}{e}$ .
  Vorzeichenverhalten von h':
  Links von $x_{1} = - \frac{1}{e}$ liegt etwa $l = - 1$ .
  Und $h^{'} (l) = \ln ({(- 1)}^{2}) + 2 = 0 + 2 > 0$
  Rechts von $x_{1} = - \frac{1}{e}$ liegt etwa $r = - \frac{1}{e^{2}}$ .
  Und $h^{'} (r) = \ln (\frac{1}{e^{4}}) + 2 = \ln (e^{- 4}) + 2 = - 4 + 2 = - 2 < 0$ .
  Somit hat man an den Hochpunkt $H (- \frac{1}{e} | \frac{2}{e})$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitungsfunktion f′ einer in $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion f. Nur in den Punkten $(- 4 | f^{'} (- 4))$ und $(5 | f^{'} (5)$ hat der Graph $G_{f^{'}}$ waagrechte Tangenten.
1. Begründen Sie, dass $f$ genau eine Wendestelle besitzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
  Die vorgelegte Funktion ist ganzrational. Also ist sie (mindestens) zweimal differenzierbar. Laut Text und Abb.1 hat der Graph der Funktion $f^{'}$ an den Stellen $x_{1} = - 4$ und $x_{2} = 5$ waagerechte Tangenten.
  Somit gilt:
  $f^{''} (- 4) = f^{''} (5) = 0$
  Da aber der Graph von $f^{'}$ für $x < 5$ monoton steigend ist, gilt für $x < 5$ also $f^{''} (x) > 0$ .
  Und für $x > 5$ fällt der Graph von $f^{'}$ . Also gilt für $x > 5$ also $f^{''} (x) < 0$ .
  Somit liegt an der Stelle $x_{2} = 5$ eine Wendestelle.
  An der Stelle $x_{1} = - 4$ liegt keine Wendestelle, da $f^{''}$ hier keine Vorzeichenänderung hat.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Es gibt Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitungsfunktion f′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat
  
  Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Steigung $m_{1} = 1$ .
  Wenn der Graph von f Tangenten hat, die parallel zu diesen Winkelhalbierenden sind, so nimmt die Ableitungsfunktion $f^{'}$ die Werte $m_{1} = 1$ an.
  Zeichnet man in Abb.1 Parallelen zu x-Achse im Abstand 1, so findet man, dass gilt: $f^{'} (2) = f^{'} (7) = 1$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die in IR definierten Funktionen $f : x \mapsto x^{2} + 4$ und
$g_{m} : x \mapsto m \cdot x$ mit $m \in ℝ$ . Der Graph von f wird mit $G_{f}$ und der Graph von $g_{m}$ mit $G_{m}$ bezeichnet.
1. Skizzieren Sie $G_{f}$ in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen $G_{f}$ und $G_{4}$ .
  
  Der Graph der Grundfunktion $h (x) = x^{2}$ ist die Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel im Ursprung des Koordinatensystems.
  Der zu zeichnende Graph der Funktion f ergibt sich durch Verschieben der Normalparabel um 4 Einheiten nach oben.
  Berechnung des gemeinsamen Punktes der Graphen $G_{f}$ und $G_{4}$
  $x^{2} + 4 = 4 \cdot x$
  $x^{2} - 4 x + 4 = 0$
  ${(x - 2)}^{2} = 0$
  $x = 2$ ist doppelte Lösung
  Damit hat man als gemeinsamen Punkt einen Berührpunkt, $B (2; 8)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Es gibt Werte von m, für die die Graphen $G_{f}$ und $G_{m}$ jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von m an
  
  Man setzt die Funktionsterme gleich und sucht diejenigen $m$ , für die die Gleichung keine Lösung hat.
  $x^{2} + 4 = m \cdot x$
  $x^{2} - m \cdot x + 4 = 0$ quadratische Ergänzung
  $x^{2} - m \cdot x = - 4$
  $x^{2} - m \cdot x + {(\frac{m}{2})}^{2} = - 4 + \frac{m^{2}}{4}$
  ${(x - \frac{m}{2})}^{2} = \frac{(- 16 + m^{2})}{4}$ , da Quadrate nie negativ sind, muss $- 16 + m^{2} < 0$ sein.
  $m^{2} < 16 ⟺ - 4 < m < 4.$
  Für die Steigungen m, die zwischen -4 und 4 liegen, gibt es keine gemeinsame Punkte.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g (x)$ = 0,7 $\cdot$ $e^{0,5 x}$ - 0,7 und $x$ $\in ℝ .$
Die Funktion $g$ ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_{g}$ von $g$ sowie einen Teil des Graphen $G_{h}$ der Umkehrfunktion $h$ von $g$ .
a) Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von $G_{h}$ ein.
b) Betrachtet wird das von den Graphen $G_{g}$ und $G_{h}$ eingeschlossene Flächenstück. Schraffieren Sie den Teil dieses Flächenstücks, dessen Inhalt mit dem Term
$2 \cdot \int_{0}^{2,5} (x - g (x)) d x$ berechnet werden kann.
c) Geben Sie den Term einer Stammfunktion der in $ℝ$ definierten Funktion
k: x $\mapsto$ x - g(x) an.

Teilaufgabe a)
Den Graphen der Umkehrfunktion von $g (x) = 0,7 \cdot e^{0,5 \cdot x} - 0,7$ erhält man, indem man den Graph von $g$ an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten spiegelt.
Teilaufgabe b)
Man schraffiert den Bereich zwischen der 1. Winkelhalbierenden ( $y = x$ ) und dem Graphen von $g$ über dem Intervall $[0; 2,5]$ .
Teilaufgabe c)
Suche Stammfunktion von $k$ : $k (x) = x - 0,7 \cdot (e^{0,5 \cdot x} - 1)$
Stammfunktion vom Minuenden $x$ ist $\frac{1}{2} \cdot x^{2}$ .
Stammfunktion von $e^{0,5 \cdot x}$ ist $e^{\frac{1}{2} \cdot x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot x}$
Somit ist $K (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 0,7 \cdot (2 \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot x} - x)$ eine Stammfunktion von $k$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Teilaufgabe c)