Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_{f'}$ der Ableitungsfunktion f′ einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion f. Nur in den Punkten $(-4|f'(-4))$ und $(5|f'(5)$ hat der Graph $G_{f'}$ waagrechte Tangenten.

Begründen Sie, dass $f$ genau eine Wendestelle besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Die vorgelegte Funktion ist ganzrational. Also ist sie (mindestens) zweimal differenzierbar. Laut Text und Abb.1 hat der Graph der Funktion $f'$ an den Stellen $x_1=-4$ und $x_2=5$ waagerechte Tangenten.
Somit gilt:
Da aber der Graph von $f'$ für $x<5$ monoton steigend ist, gilt für $x<5\$ also $f''\left(x\right)>0$ .
Und für $x>5$ fällt der Graph von $f'$ . Also gilt für $x>5$ also $f''\left(x\right)<0$ .
Somit liegt an der Stelle $x_2=5$ eine Wendestelle.
An der Stelle $x_1=-4$ liegt keine Wendestelle, da $f''$ hier keine Vorzeichenänderung hat.
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Es gibt Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen $G_{f'}$ der Ableitungsfunktion f′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat

Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Steigung $m_1=1$ .
Wenn der Graph von f Tangenten hat, die parallel zu diesen Winkelhalbierenden sind, so nimmt die Ableitungsfunktion $f'$ die Werte $m_1=1\$ an.
Zeichnet man in Abb.1 Parallelen zu x-Achse im Abstand 1, so findet man, dass gilt: $f'\left(2\right)=f'\left(7\right)=1$ .
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