Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.

Das Argument des $\ln \backslash ln$ ist hier $x^{2}x^2$. Quadrate sind nie negativ und nur gleich Null, wenn die Basis gleich Null ist. Also gilt für den Definitionsbereich $D_h=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}D\_h=\backslash R\backslash setminus\; \backslash left\backslash \{0\backslash right\backslash \}$.

Zur Berechnung der 1. Ableitung benötigt man die Produktregel: Also ist

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln \text{⁡}(x^2)+x\cdot \frac{2x}{x^2}=\ln \left(x^2\right)+2.h\text{'}(x)=\backslash ln(x^2)+x\backslash cdot\backslash frac\{2x\}\{x^2\}=\backslash ln\backslash left(x^2\backslash right)+2.$

Kettenregel: Eine verkettete Funktion besteht aus äußerer und innerer Funktion. Die Kettenregel lautet: Ableitung der verketteten Funktion ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion (an Stelle der inneren Funktion) mal Ableitung der inneren Funktion.

$\{f(g(x){\}}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)\backslash \{f(g(x)\backslash \}\text{'}=f\text{'}(g(x))\backslash cdot\; g\text{'}(x)$

Die Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extremstellen.

Daher setzt man: $h^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0h\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

Also:

$\ln (x^2)+2=0\iff \ln (x^2)=-2\iff x^2=e^{-2}\backslash ln(x^2)+2=0\backslash Leftrightarrow\backslash ln(x^2)=-2\backslash Leftrightarrow\; x^2=e^\{-2\}$.

Somit gibt es zwei mögliche Lösungen.

Nämlich:

Da nach dem Hochpunkt im II. Quadranten gefragt ist, liegt der (mögliche) Hochpunkt an der Stelle $x_{1}x\_1$.

$y_1=h(-\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}\cdot \ln (e^{-2})=\frac{2}{e}\cdot \ln e=\frac{2}{e}y\_1=h(-\backslash frac\{1\}\{e\})=-\backslash frac\{1\}\{e\}\backslash cdot\backslash ln(e^\{-2\})=\backslash frac\{2\}\{e\}\backslash cdot\backslash ln\; e=\backslash frac\{2\}\{e\}$.

Vorzeichenverhalten von h':

Links von $x_1=-\frac{1}{e}x\_1=-\backslash frac\{1\}\{e\}$ liegt etwa $l=-1l=-1$.

Und $h^{\mathrm{\prime }}\left(l\right)=\ln \left({(-1)}^2\right)+2=0+2>0h\text{'}\backslash left(l\backslash right)=\backslash ln\backslash left(\backslash left(-1\backslash right)^2\backslash right)+2=0+2>0$

Rechts von $x_1=-\frac{1}{e}x\_1=-\backslash frac\{1\}\{e\}$ liegt etwa $r=-\frac{1}{e^2}r=-\backslash frac\{1\}\{e^2\}$.

Und .

Somit hat man an den Hochpunkt $H(-\frac{1}{e}\mathrm{\mid }\frac{2}{e})H(-\backslash frac\{1\}\{e\}|\backslash frac\{2\}\{e\})$.