Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.

Das Argument des $\ln$ ist hier $x^2$. Quadrate sind nie negativ und nur gleich Null, wenn die Basis gleich Null ist. Also gilt für den Definitionsbereich $D_h=ℝ\setminus \left\{0\right\}$.

Zur Berechnung der 1. Ableitung benötigt man die Produktregel: Also ist

$h^{\prime }(x)=\ln \text{⁡}(x^2)+x\cdot \frac{2x}{x^2}=\ln \left(x^2\right)+2.$

Kettenregel: Eine verkettete Funktion besteht aus äußerer und innerer Funktion. Die Kettenregel lautet: Ableitung der verketteten Funktion ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion (an Stelle der inneren Funktion) mal Ableitung der inneren Funktion.

$\{f(g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Die Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extremstellen.

Daher setzt man: $h^{\prime }\left(x\right)=0$

Also:

$\ln (x^2)+2=0\iff \ln (x^2)=-2\iff x^2=e^{-2}$.

Somit gibt es zwei mögliche Lösungen.

Nämlich:

Da nach dem Hochpunkt im II. Quadranten gefragt ist, liegt der (mögliche) Hochpunkt an der Stelle $x_1$.

$y_1=h(-\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}\cdot \ln (e^{-2})=\frac{2}{e}\cdot \ln e=\frac{2}{e}$.

Vorzeichenverhalten von h':

Links von $x_1=-\frac{1}{e}$ liegt etwa $l=-1$.

Und $h^{\prime }\left(l\right)=\ln \left({(-1)}^2\right)+2=0+2>0$

Rechts von $x_1=-\frac{1}{e}$ liegt etwa $r=-\frac{1}{e^2}$.

Und $h^{\prime }(r)=\ln (\frac{1}{e^4})+2=\ln (e^{-4})+2=-4+2=-2<0$.

Somit hat man an den Hochpunkt $H(-\frac{1}{e}|\frac{2}{e})$.