Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.

Das Argument des $\ln$ ist hier $x^2$. Quadrate sind nie negativ und nur gleich Null, wenn die Basis gleich Null ist. Also gilt für den Definitionsbereich $D_h=\R\setminus \left\{0\right\}$.

Zur Berechnung der 1. Ableitung benötigt man die Produktregel: Also ist

$h'(x)=\ln⁡(x^2)+x\cdot\frac{2x}{x^2}=\ln\left(x^2\right)+2.$

Kettenregel: Eine verkettete Funktion besteht aus äußerer und innerer Funktion. Die Kettenregel lautet: Ableitung der verketteten Funktion ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion (an Stelle der inneren Funktion) mal Ableitung der inneren Funktion.

$\{f(g(x)\}'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Die Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extremstellen.

Daher setzt man: $h'\left(x\right)=0$

Also:

$\ln(x^2)+2=0\Leftrightarrow\ln(x^2)=-2\Leftrightarrow x^2=e^{-2}$.

Somit gibt es zwei mögliche Lösungen.

Nämlich:

Da nach dem Hochpunkt im II. Quadranten gefragt ist, liegt der (mögliche) Hochpunkt an der Stelle $x_1$.

$y_1=h(-\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}\cdot\ln(e^{-2})=\frac{2}{e}\cdot\ln e=\frac{2}{e}$.

Vorzeichenverhalten von h':

Links von $x_1=-\frac{1}{e}$ liegt etwa $l=-1$.

Und $h'\left(l\right)=\ln\left(\left(-1\right)^2\right)+2=0+2>0$

Rechts von $x_1=-\frac{1}{e}$ liegt etwa $r=-\frac{1}{e^2}$.

Und $h'(r)=\ln(\frac{1}{e^4})+2=\ln(e^{-4})+2=-4+2=-2<0$.

Somit hat man an den Hochpunkt $H(-\frac{1}{e}|\frac{2}{e})$.