Um die Koordinaten des Endpunktes $Q$ des Durchmessers zu ermitteln, verdoppelt man die Strecke von $P$ nach $M$über $M$hinaus.

$P(8|-5|1)M(5|-1|1)$

Verbindungsvektor von $P\text{nach}M$ ist $\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$. $\overrightarrow{q}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Somit hat $Q$ die Koordinaten: $Q(2|3|1)$

Der Punkt $R(9|-1|4)$ liegt auf der Kugel, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt $M$ gleich der Länge von $\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|=5$ ist.

Der Vektor von $M$ nach $R$ ist $\overrightarrow{r}$.

Es gilt: $\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}9-5\\ -1-(-1)\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

$\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+0^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$

Damit liegt $R$ auf der Kugel.

b) Da der Punkt $R$ auf der Kugel mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius der Länge $5$ liegt, liegt er automatisch auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius der Länge $5$.

Die Eckpunkte $P,Q,R$ liegen somit auf einem Thaleskreis und damit ist das Dreieck $PQR$ rechtwinklig