Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Um die Koordinaten des Endpunktes $QQ$ des Durchmessers zu ermitteln, verdoppelt man die Strecke von $PP$ nach $MM\backslash$über $MM\backslash$hinaus.

$P(8\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }1)M(5\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }1)P\backslash left(8|-5|1\backslash right)\backslash \; \backslash \; \backslash \; M\backslash left(5|-1|1\backslash right)$

Verbindungsvektor von $P\text{nach}MP\backslash ;\backslash text\{nach\}\backslash ;M$ ist $\vec{a}\backslash vec\{a\}$

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\{a\}=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 4\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$. $\vec{q}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{q\}=\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash -1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 4\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Somit hat $QQ$ die Koordinaten: $Q(2\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }1)Q(2|3|1)$

Der Punkt $R(9\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }4)R(9|-1|4)$ liegt auf der Kugel, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt $MM$ gleich der Länge von $\vec{a}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=5\backslash vec\{a\}=|\backslash vec\{a\}|=5$ ist.

Der Vektor von $MM$ nach $RR$ ist $\vec{r}\backslash vec\{r\}$.

Es gilt: $\vec{r}=\left(\begin{array}{c}9-5\\ -1-(-1)\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{r\}=\backslash begin\{pmatrix\}9-5\backslash \backslash -1-(-1)\backslash \backslash 4-1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 0\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$

$\mid \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\mid =\sqrt{4^2+0^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.\backslash left|\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 0\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right|=\backslash sqrt\{4^2+0^2+(-3)^2\}=\backslash sqrt\{16+9\}=\backslash sqrt\{25\}=5.$

Damit liegt $RR$ auf der Kugel.

b) Da der Punkt $RR$ auf der Kugel mit dem Mittelpunkt $MM$ und dem Radius der Länge $55$ liegt, liegt er automatisch auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $MM$ und dem Radius der Länge $55$.

Die Eckpunkte $P,Q,RP,Q,R$ liegen somit auf einem Thaleskreis und damit ist das Dreieck $PQRPQR$ rechtwinklig