Teilaufgabe a)

Eine gebrochen rationale Funktion hat dort eine Nullstelle wo der Zähler Null wird.

Bei der vorgelegten Funktion ist der Nenner für alle reellen $x$ positiv. Somit ist $k$ für alle reellen $x$ definiert.

$k\left(x\right)=0\iff -x^2+2\cdot x$=0

$x\cdot (-x+2)=0\iff \text{x}=0\text{ oder }x=2$

Die vorgelegte Funktion $k$ ist eine gebrochen rationale Funktion, wobei Zählergrad gleich Nennergrad ist. Somit ist die zur $x$-Achse parallele Gerade $y=-\frac{1}{2}$ Asymptote.

Zur Begründung: Dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ und erhält:

$k\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x}{2x^2+4}}={\displaystyle \frac{-1+\frac{2}{x}}{2+\frac{4}{x^2}}}$. Betrachtet man nun den Funktionsterm für unbegrenzt wachsendes bzw. fallendes $x$, so streben die Bruchterme $\frac{2}{x}\text{ und }\frac{4}{x^2}$ gegen Null und die Funktion $k$ strebt gegen $-\frac{1}{2}$.

Teilaufgabe b)

$-\frac{1}{2}={\displaystyle \frac{-x^2+2x}{2x^2+4}}\iff -2x^2-4=-2x^2+4x\iff -4=4\cdot x\iff \text{x}=-1$