Teilaufgabe a)

Eine gebrochen rationale Funktion hat dort eine Nullstelle wo der Zähler Null wird.

Bei der vorgelegten Funktion ist der Nenner für alle reellen $xx$ positiv. Somit ist $kk$ für alle reellen $xx$ definiert.

$k\left(x\right)=0\iff -x^2+2\cdot xk\backslash left(x\backslash right)=0\backslash Leftrightarrow-x^2+2\backslash cdot\; x$=0

$x\cdot (-x+2)=0\iff \text{x}=0\text{ oder }x=2x\backslash cdot\backslash left(-x+2\backslash right)=0\backslash Leftrightarrow\backslash text\{x\}=0\backslash \; \backslash text\{~oder~\}\; x=2$

Die vorgelegte Funktion $kk$ ist eine gebrochen rationale Funktion, wobei Zählergrad gleich Nennergrad ist. Somit ist die zur $xx$-Achse parallele Gerade $y=-\frac{1}{2}y=-\backslash frac\{1\}\{2\}$ Asymptote.

Zur Begründung: Dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $xx$ und erhält:

$k\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x}{2x^2+4}}={\displaystyle \frac{-1+\frac{2}{x}}{2+\frac{4}{x^2}}}k\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac\{-x^2+2x\}\{2x^2+4\}=\backslash dfrac\{-1+\backslash frac\{2\}\{x\}\}\{2+\backslash frac\{4\}\{x^2\}\}$. Betrachtet man nun den Funktionsterm für unbegrenzt wachsendes bzw. fallendes $xx$, so streben die Bruchterme $\frac{2}{x}\text{ und }\frac{4}{x^2}\backslash frac\{2\}\{x\}\; \backslash text\{~\; und~\}\; \backslash frac\{4\}\{x^2\}$ gegen Null und die Funktion $kk$ strebt gegen $-\frac{1}{2}-\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Teilaufgabe b)

$-\frac{1}{2}={\displaystyle \frac{-x^2+2x}{2x^2+4}}\iff -2x^2-4=-2x^2+4x\iff -4=4\cdot x\iff \text{x}=-1-\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash dfrac\{-x^2+2x\}\{2x^2+4\}\backslash Leftrightarrow-2x^2-4=-2x^2+4x\backslash Leftrightarrow\backslash \; -4=4\backslash cdot\; x\backslash Leftrightarrow\backslash text\{x\}=-1$