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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion gln(2x2)g\mapsto\ln (2-x^2) mit maximaler Definitionsmenge DgD_g.

    a) Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung y=2x2y=2-x^2 in einem Koordinatensystem und geben Sie DgD_g an.

    b) Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion g g' von gg.

  2. 2

    Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen GhG_h einer in R\mathbb{R} \ {2} definierten gebrochen-rationalen Funktion h. Die Funktion h bei x = 2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt GhG_h die Gerade mit der Gleichung y = x - 7 als schräge Asymptote.

    Gebrochen rationale Funktion

    a) Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von GhG_h ein und skizzieren Sie im Bereich x<2 einen möglichen Verlauf von GhG_h.

    b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von GhG_h einen Näherungswert für 1020h(x)dx\int_{10}^{20}h(x)dx.

  3. 3

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion kk: x x x2+2x2x2+4\mapsto\dfrac{-x^2+2x}{2x^2+4} . Ihr Graph wird mit GkG_k bezeichnet.

    a) Geben Sie die Nullstellen von kk an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass GkG_k die Gerade mit der Gleichung y=0,5 y = -0{,}5 als waagrechte Asymptote besitzt.

    b) Berechnen Sie die xx-Koordinate des Schnittpunkts von GkG_k mit der waagrechten Asymptote.

  4. 4

    Die Abbildung 2 zeigt den Graphen GfG_f einer in [0,8; + ∞ [ definierten Funktion ff.

    Graph einer Funktion

    Betrachtet wird zudem die in [0,8; + ∞ [ definierte Integralfunktion J:

    x2xf(t)dt.x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt.

    Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass J(1) ≈ -1 gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert J(4,5) an. Skizzieren Sie den Graphen von J in der Abbildung.


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