Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g\mapsto\ln (2-x^2)$ mit maximaler Definitionsmenge $D_g$ .
a) Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung $y=2-x^2$ in einem Koordinatensystem und geben Sie $D_g$ an.
b) Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion $g'$ von $g$ .

Teilaufgabe a)
Der Graph der Funktion $y=x^2$ ist eine Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung. Den Graph von $y=2-x^2$ erhält man, indem man die Normalparabel an der $x$ -Achse spiegelt und um 2 Einheiten nach oben verschiebt.
$2-x^2>0\Leftrightarrow\ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$
Damit ist der Definitionsbereich von $g$ :
$D_g=\left]-\sqrt{2};\sqrt{2}\right[$
Teilaufgabe b)
Die Funktion $g\left(x\right)=\ln\left(2-x^2\right)_{ }$ ist eine verkettete Funktion. Die $\ln$ -Funktion ist die äußere, und $y=2-x^2$ ist die innere Funktion. Mit Anwendung der Kettenregel berechnet man die 1.Ableitung.
$g'\left(x\right)=\dfrac{1}{2-x^2}\cdot\left(-2\cdot x\right)=-2\cdot\dfrac{x}{2-x^2}$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen $G_h$ einer in $\mathbb{R}$ \ {2} definierten gebrochen-rationalen Funktion h. Die Funktion h bei x = 2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt $G_h$ die Gerade mit der Gleichung y = x - 7 als schräge Asymptote.
a) Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von $G_h$ ein und skizzieren Sie im Bereich x<2 einen möglichen Verlauf von $G_h$ .
b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von $G_h$ einen Näherungswert für $\int_{10}^{20}h(x)dx$ .

a) Da $x=2$ als doppelte Nullstelle der Nennerfunktion gewählt werden kann (es gibt ja keinen Vorzeichenwechsel) und $y=x-7$ Asymptote ist, ergibt sich mit der senkrechten Asymptoten $x=2$ etwa dieses Bild des Graphen:
b) Im Bereich 1 $0\le x\le 20$ ist $h(x)\approx x-7$ . Daher ist
$\displaystyle\int_{10}^{20}h(x)\, dx\approx\int_{10}^{20} (x-7) \ dx =\left[\dfrac{x^2}{2}-7x\right]_{10}^{20}$
$=\dfrac{400}{2}-140-\dfrac{100}{2}+70=200-140-50+70=80$
Wie man in der Skizze sieht, liegt der wirkliche Wert etwas darüber - die Funktion verläuft ja oberhalb ihrer Asymptote.
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ : $x$ $\mapsto\dfrac{-x^2+2x}{2x^2+4}$ . Ihr Graph wird mit $G_k$ bezeichnet.
a) Geben Sie die Nullstellen von $k$ an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $G_k$ die Gerade mit der Gleichung $y = -0{,}5$ als waagrechte Asymptote besitzt.
b) Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts von $G_k$ mit der waagrechten Asymptote.

Teilaufgabe a)
Eine gebrochen rationale Funktion hat dort eine Nullstelle wo der Zähler Null wird.
Bei der vorgelegten Funktion ist der Nenner für alle reellen $x$ positiv. Somit ist $k$ für alle reellen $x$ definiert.
$k\left(x\right)=0\Leftrightarrow-x^2+2\cdot x$ =0
$x\cdot\left(-x+2\right)=0\Leftrightarrow\text{x}=0\ \text{~oder~} x=2$
Die vorgelegte Funktion $k$ ist eine gebrochen rationale Funktion, wobei Zählergrad gleich Nennergrad ist. Somit ist die zur $x$ -Achse parallele Gerade $y=-\frac{1}{2}$ Asymptote.
Zur Begründung: Dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ und erhält:
$k\left(x\right)=\dfrac{-x^2+2x}{2x^2+4}=\dfrac{-1+\frac{2}{x}}{2+\frac{4}{x^2}}$ . Betrachtet man nun den Funktionsterm für unbegrenzt wachsendes bzw. fallendes $x$ , so streben die Bruchterme $\frac{2}{x} \text{~ und~} \frac{4}{x^2}$ gegen Null und die Funktion $k$ strebt gegen $-\frac{1}{2}$ .
Teilaufgabe b)
$-\frac{1}{2}=\dfrac{-x^2+2x}{2x^2+4}\Leftrightarrow-2x^2-4=-2x^2+4x\Leftrightarrow\ -4=4\cdot x\Leftrightarrow\text{x}=-1$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ einer in [0,8; + ∞ [ definierten Funktion $f$ .
Betrachtet wird zudem die in [0,8; + ∞ [ definierte Integralfunktion J:
$x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt.$
Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass J(1) ≈ -1 gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert J(4,5) an. Skizzieren Sie den Graphen von J in der Abbildung.

$J\left(1\right)=\int_2^1f\left(x\right)\,dx=-\int_1^2f\left(x\right)\,dx.$
Aus der Abbildung Abb2. kann man an der Anzahl der Quadrate ablesen, dass $\int_1^2f\left(x\right)dx\ \ =1$ (etwa) gilt.
Also $J\left(1\right)=-1.$
Ebenfalls durch Abzählen der eingeschlossenen Quadrate erhalten wir für $J\left(4{,}5\right)=\int_2^{4{,}5}f\left(x\right)\,dx=1{,}5$ (etwa).
Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{4}FE$ (Flächeneinheit ).
Lösung als Video mit Erklärung des Graphen