Teilaufgabe a)
Da die Ereignisse "noch kein schnelles Internet zu haben" unabhängig sind, ist das Experiment als ein Bernoulliexperiment zu betrachten.
Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt: p=0,2.
Die Länge der Bernoullikette ist n=10.
A: mindestens zwei Treffer ist gleichbedeutend mit dem Gegenereignis von B: kein oder genau 1 Treffer.
P(A)=1−[B(10,p,0)+B(10,p,1)]⟺
P(A)=1−[(100)⋅p0⋅(1−p)10+(101)⋅p⋅(1−p)9]⟺
P(A)=1−[1⋅0,810+10⋅0,2⋅0,89]=1−[0,107+0,0268]=1−0,3758=0,624.
C:genau 8 verfügen bereits über schnellen Internetanschluss
Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt p=0,8⟺(1−p)=0,2
P(C)=B(10;0,8;8)=(108)⋅0,88⋅0,22=45⋅0,16777⋅0,04=0,302.
Teilaufgabe b)
Welches Ereignis D hat die Wahrscheinlichkeit 0,210+(1−0,2)10?
0,210 bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Treffer.
(1−0,2)10 bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Nieten.
In dem Sachzusammenhang der Aufgabe bedeutet somit
0,210+(1−0,2)10 ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D:
"von 10 Haushalten hat entweder keiner oder alle schnelles Internet."
Teilaufgabe c)
Wie viele Haushalte muss man mindestens befragen, damit wenigstens ein Haushalt einen schnellen Internetanschluss haben möchte.
A: wenigstens ein Haushalt möchte schnelles Internet.
Das Gegenereignis A ist: kein Haushalt möchte schnelles Internet.
Das Experiment ist ein Bernoulliexperiment der Länge n, mit der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,01.
Nun soll gelten: P(A)>0,99
P(A)=1−B(n,p,0)=1−(n0)⋅p0⋅(1−p)n=1−(1−p)n
P(A)>0,99⟺1−(1−p)n>0,99⟺
P(A)>0,99⟺1−0,99>(1−p)n⟺0,01>(1−p)n
P(A)>0,99⟺ln(0,01)>ln([1−p])n⟺
P(A)>0,99⟺ln(0,01)>n⋅ln(1−p)⟺ln(0,99)ln(0,01)<n
P(A)>0,99⟺n>458
Man muss wenigstens 459 Haushalte befragen.
Anmerkung:
Bei der Lösung gehen wir davon aus, dass das Unternehmen nur Haushalte befragt, die noch kein schnelles Internet haben. Wenn beliebige Haushalte befragt werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf p=0,01⋅0,2=0,002.
Eine analoge Rechnung ergibt dann n>2300,28, also n=2301.