Teilaufgabe a)

Da die Ereignisse "noch kein schnelles Internet zu haben" unabhängig sind, ist das Experiment als ein Bernoulliexperiment zu betrachten.

Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt: $p=0{,}2$.

Die Länge der Bernoullikette ist $n=10$.

$A:$ mindestens zwei Treffer ist gleichbedeutend mit dem Gegenereignis von $B:$ kein oder genau 1 Treffer.

$P(A)=1-[B(10,p,0)+B(10,p,1)]\iff$

$P(A)=1-[\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\cdot p^0\cdot (1-p)^{10}+\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot p\cdot (1-p)^9] \iff$

$P(A)=1-[1\cdot0{,}8^{10}+10\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^9]=1-[0{,}107+0{,}0268]=1-0{,}3758=0{,}624$.

$C:$genau 8 verfügen bereits über schnellen Internetanschluss

Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt $p=0{,}8\iff (1-p)=0{,}2$

$P(C)=B(10;0{,}8;8)=\begin{pmatrix}10\\8 \end{pmatrix}\cdot0{,}8^8\cdot0{,}2^2=45\cdot 0{,}16777\cdot 0{,}04=0{,}302$.

Teilaufgabe b)

Welches Ereignis $D$ hat die Wahrscheinlichkeit $0{,}2^{10}+(1-0{,}2)^{10}$?

$0{,}2^{10}$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Treffer.

$(1-0{,}2)^{10}$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Nieten.

In dem Sachzusammenhang der Aufgabe bedeutet somit

$0{,}2^{10}+(1-0{,}2)^{10}$ ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D:

"von 10 Haushalten hat entweder keiner oder alle schnelles Internet."

Teilaufgabe c)

Wie viele Haushalte muss man mindestens befragen, damit wenigstens ein Haushalt einen schnellen Internetanschluss haben möchte.

$A:$ wenigstens ein Haushalt möchte schnelles Internet.

Das Gegenereignis $\overline{A}$ ist: kein Haushalt möchte schnelles Internet.

Das Experiment ist ein Bernoulliexperiment der Länge $n$, mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}01.$

Nun soll gelten: $P(A)>0{,}99$

$P(A)=1-B(n,p,0)=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot p^0\cdot(1-p)^n=1-(1-p)^n$

$P(A)>0{,}99\iff 1-(1-p)^n>0{,}99\iff$

$P(A)>0{,}99\iff 1-0{,}99>(1-p)^n\iff 0{,}01>(1-p)^n$

$P(A)>0{,}99\iff \ln(0{,}01)>\ln([1-p])^n\iff$

$P(A)>0{,}99\iff \ln(0{,}01)>n\cdot \ln(1-p)\iff \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}99)}<n$

$P(A)>0{,}99\iff n>458$

Man muss wenigstens 459 Haushalte befragen.

Anmerkung:

Bei der Lösung gehen wir davon aus, dass das Unternehmen nur Haushalte befragt, die noch kein schnelles Internet haben. Wenn beliebige Haushalte befragt werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf $p=0{,}01\cdot0{,}2=0{,}002$.

Eine analoge Rechnung ergibt dann $n>2300{,}28$, also $n=2301$.