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Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die übereinen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46% aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.

    Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

    A: „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss.“

    B: „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts.“

    Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfelder Tafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

  2. 2

    Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20% noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

    a) Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten

    • mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

    • genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

    b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term 0,210+(10.2)100{,}2^{10}+(1-0.2)^{10} angegeben wird.

    c) Ermitteln Sie, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie dabei davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

  3. 3

    Die Zufallsgröße YY kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y mit a,b[0;1]a, b \in \left[ 0;1 \right].

    Bild

    a) Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von YY gleich 2 ist .

    Die Varianz von YY ist gleich 118\dfrac{11}{8}.

    b) Bestimmen Sie die Werte von aa und bb.

    c) Die Zufallsgröße ZZ, die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl“ bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog P(Z=2)=38P\left(Z=2 \right)= \dfrac{3}{8}. Berechnen Sie die Varianz von ZZ, vergleichen Sie diese mit der Varianz von YY und beschreiben Sie davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von ZZ und YY.


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