Teilaufgabe a)

Da die Verteilung symmetrisch zu 2 ist, ist 2 als Mittelwert auch der Erwartungswert.

Teilaufgabe b)

Die Varianz ist

$V=P(x=0)\cdot (0-2{)}^2+P(x=1)\cdot (1-2{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot (2-2{)}^2+P(x=3)\cdot (3-2{)}^2+P(x=4)\cdot (4-2{)}^2.$

Mit $P(x=0)=P(x=4)=a$ und $P(x=1)=P(x=3)=b$ erhältst du

$V=a\cdot 4+b\cdot 1+0+b\cdot 1+a\cdot 4=8a+2b={\displaystyle \frac{11}{8}}$

Da die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ sein muss, ist $a+b+{\displaystyle \frac{3}{8}}+b+a=1$, also $2a+2b={\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Jetzt hast du zwei Gleichungen für $a$ und $b$:

$\begin{array}{l}8a+2b={\displaystyle \frac{11}{8}}\\ \\ 2a+2b={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$

Wenn du die zweite Gleichung von der ersten subtrahierst, erhältst du $6a={\displaystyle \frac{6}{8}}$ , also $a={\displaystyle \frac{1}{8}}$. Aus der zweiten Gleichung erhältst du dann $b={\displaystyle \frac{3}{16}}$.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also

$\begin{array}{cccccc}k& 0& 1& 2& 3& 4\\ P(Y=k)& {\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{16}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{16}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$

Teilaufgabe c)

Das viermalige Werfen einer Münze entspricht einer Bernoulli-Kette der Länge vier. Da die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" $p=1-p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist, ist die Wahrscheinlichkeit $Z$ für $k$ Treffer durch $P(Z=k)=B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};k)=\left(\begin{array}{c}4\\ k\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{4-k}$gegeben.

Man berechnet

$B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};0)=B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};4)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^0{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4=1\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

$B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};1)=B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};3)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$B(4;{\displaystyle \frac{1}{2}};2)\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=6\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{6}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also

$\begin{array}{cccccc}k& 0& 1& 2& 3& 4\\ P(Z=k)& {\displaystyle \frac{1}{16}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{16}}\end{array}$

Die Varianz berechnet sich durch

$V=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot (2-0{)}^2+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (2-1{)}^2+0={\displaystyle \frac{8}{16}}+{\displaystyle \frac{2}{4}}=1.$

Dies bedeutet, dass sich die Werte diesmal näher am Erwartungswert 2 befinden, da die Varianz (und damit auch die Standardabweichung) kleiner ist.