Teilaufgabe a)

Da die Verteilung symmetrisch zu 2 ist, ist 2 als Mittelwert auch der Erwartungswert.

Teilaufgabe b)

Die Varianz ist

$V=P(x=0)\cdot(0-2)^2+P(x=1)\cdot(1-2)^2+\dfrac{3}{8}\cdot(2-2)^2+P(x=3)\cdot(3-2)^2+P(x=4)\cdot(4-2)^2.$

Mit $P(x=0)=P(x=4)=a$ und $P(x=1)=P(x=3)=b$ erhältst du

$V=a\cdot 4+b\cdot 1+0+b\cdot 1+a\cdot 4=8a+2b=\dfrac{11}{8}$

Da die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ sein muss, ist $a+b+\dfrac{3}{8}+b+a=1$, also $2a+2b=\dfrac{5}{8}$.

Jetzt hast du zwei Gleichungen für $a$ und $b$:

$8a+2b=\dfrac{11}{8}\\ \quad \\ 2a+2b=\dfrac{5}{8}$

Wenn du die zweite Gleichung von der ersten subtrahierst, erhältst du $6a=\dfrac{6}{8}$ , also $a=\dfrac{1}{8}$. Aus der zweiten Gleichung erhältst du dann $b=\dfrac{3}{16}$.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c|c|c|c|c|c|}k&0&1&2&3&4\\[1ex]\hline \rule{0mm}{5ex}P(Y=k)&\dfrac{1}{8}&\dfrac{3}{16}&\dfrac{3}{8}&\dfrac{3}{16}&\dfrac{1}{8} \end{array}$

Teilaufgabe c)

Das viermalige Werfen einer Münze entspricht einer Bernoulli-Kette der Länge vier. Da die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" $p=1-p=\dfrac{1}{2}$ ist, ist die Wahrscheinlichkeit $Z$ für $k$ Treffer durch $P(Z=k)=B\left(4;\dfrac{1}{2};k\right)=\begin{pmatrix}4\\k \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-k}$gegeben.

Man berechnet

$B\left(4;\dfrac{1}{2};0\right)=B\left(4;\dfrac{1}{2};4\right)=\begin{pmatrix}4\\0 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}$

$B\left(4;\dfrac{1}{2};1\right)=B\left(4;\dfrac{1}{2};3\right)=\begin{pmatrix}4\\1 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$

$B\left(4;\dfrac{1}{2};2\right)\begin{pmatrix}4\\2 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=6\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c|c|c|c|c|c|}k&0&1&2&3&4\\[1ex]\hline \rule{0mm}{5ex}P(Z=k)&\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{16} \end{array}$

Die Varianz berechnet sich durch

$V=2\cdot\dfrac{1}{16}\cdot (2-0)^2+2\cdot \dfrac{1}{4}\cdot (2-1)^2+0=\dfrac{8}{16}+\dfrac{2}{4}=1.$

Dies bedeutet, dass sich die Werte diesmal näher am Erwartungswert 2 befinden, da die Varianz (und damit auch die Standardabweichung) kleiner ist.