Die Zufallsgröße Y kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y mit a,b∈[0;1].
a) Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von Y gleich 2 ist .
Die Varianz von Y ist gleich 811.
b) Bestimmen Sie die Werte von a und b.
c) Die Zufallsgröße Z, die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl“ bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog P(Z=2)=83. Berechnen Sie die Varianz von Z, vergleichen Sie diese mit der Varianz von Y und beschreiben Sie davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Z und Y.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße
Mit P(x=0)=P(x=4)=a und P(x=1)=P(x=3)=b erhältst du
V=a⋅4+b⋅1+0+b⋅1+a⋅4=8a+2b=811
Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein muss, ist a+b+83+b+a=1, also 2a+2b=85.
Jetzt hast du zwei Gleichungen für a und b:
8a+2b=8112a+2b=85
Wenn du die zweite Gleichung von der ersten subtrahierst, erhältst du 6a=86 , also a=81. Aus der zweiten Gleichung erhältst du dann b=163.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also
kP(Y=k)08111632833163481
Teilaufgabe c)
Das viermalige Werfen einer Münze entspricht einer Bernoulli-Kette der Länge vier. Da die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" p=1−p=21 ist, ist die Wahrscheinlichkeit Z für k Treffer durch P(Z=k)=B(4;21;k)=(4k)(21)k(21)4−kgegeben.