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Nun wird die in R\mathbb{R} definierte Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f (t)dt betrachtet; ihr Graph wird mit GFG_F bezeichnet.

a) Begründen Sie, dass FF in x=0x=0 eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von GfG_f plausibel, dass im Intervall [1;3][1;3] eine weitere Nullstelle von FF liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft GF G_F im Punkt (1F(1))(-1|F(-1)) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

b) Die Gerade mit der Gleichung y=x1y=x -1 begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für F(1)F (1) an.

c) Die Abbildung 2 zeigt den Graphen GfG_f sowie den Graphen GgG_g der in R\R definierten Funktion

g:xcos(π2x)g:x\mapsto-\cos(\frac{\pi}{2}x).

Zwei Funktionen

Beschreiben Sie, wie GgG_g aus dem Graphen der in R\R definierten Funktion xcosxx\mapsto \cos x hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von g g einen weiteren Näherungswert für F(1)F(1).

(zur Kontrolle: F(1)2π F(1) \approx -\frac{2}{\pi})

d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von FF für 0x30\leq x \leq3 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1.