Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $\R$ definierte Funktion $f:x\mapsto\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen $G_f$.

a) Bestätigen Sie rechnerisch, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von $f$ für $x \to+ \infty$ Bestimmen Sie diejenigen $x$-Werte, für die $f(x)= 0{,}96$ gilt.

b) Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von $G_f$.

(zur Kontrolle: $f`(x)= \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$ )

c) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an Punkt $G_f$ im Punkt $(3|f(3)$. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem $t$ die $x$-Achse schneidet, und zeichnen Sie $t$ in die Abbildung 1 ein.

Nun wird die in $\mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $F: x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f (t)dt$ betrachtet; ihr Graph wird mit $G_F$ bezeichnet.

a) Begründen Sie, dass $F$ in $x=0$ eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von $G_f$ plausibel, dass im Intervall $[1;3]$ eine weitere Nullstelle von $F$ liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft $G_F$ im Punkt $(-1|F(-1))$ hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

b) Die Gerade mit der Gleichung $y=x -1$ begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für $F (1)$ an.

c) Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ sowie den Graphen $G_g$ der in $\R$ definierten Funktion

$g:x\mapsto-\cos(\frac{\pi}{2}x)$.

Beschreiben Sie, wie $G_g$ aus dem Graphen der in $\R$ definierten Funktion $x\mapsto \cos x$ hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von $g$ einen weiteren Näherungswert für $F(1)$.

(zur Kontrolle: $F(1) \approx -\frac{2}{\pi}$)

d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von $F$ für $0\leq x \leq3$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1.

Für jeden Wert $k> 0$ legen die auf $G_f$ liegenden Punkte $P_k (-k|f(-k))$ und $Q_k (k|f(k))$ gemeinsam mit dem Punkt $R(0|1)$ ein gleichschenkliges Dreieck $P_kQ_kR$ fest.

a) Berechnen Sie für $k=2$ den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $P_2Q_2R$ (vgl. Abbildung 3).

Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $P_kQ_kR$ allgemein durch den Term $A(k)= \frac{2k}{k^2+1}$ beschrieben werden kann.

b) Zeigen Sie, dass es einen Wert von $k>0\$gibt, für den $A(k)$ maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von $k$ sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $P_kQ_kR$.