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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF

  1. 1

    Gegeben ist die in definierte Funktion f:xx21x2+1; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen Gf.

    Bild

    a) Bestätigen Sie rechnerisch, dass Gf symmetrisch bezüglich der y-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von f für x+ Bestimmen Sie diejenigen x-Werte, für die f(x)=0,96 gilt.

    b) Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von Gf.

    (zur Kontrolle: f(x)=4x(x2+1)2 )

    c) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an Punkt Gf im Punkt (3|f(3). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem t die x-Achse schneidet, und zeichnen Sie t in die Abbildung 1 ein.

  2. 2

    Nun wird die in definierte Integralfunktion F:x0xf(t)dt betrachtet; ihr Graph wird mit GF bezeichnet.

    a) Begründen Sie, dass F in x=0 eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von Gf plausibel, dass im Intervall [1;3] eine weitere Nullstelle von F liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft GF im Punkt (1|F(1)) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

    b) Die Gerade mit der Gleichung y=x1 begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für F(1) an.

    c) Die Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf sowie den Graphen Gg der in definierten Funktion

    g:xcos(π2x).

    Zwei Funktionen

    Beschreiben Sie, wie Gg aus dem Graphen der in definierten Funktion xcosx hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von g einen weiteren Näherungswert für F(1).

    (zur Kontrolle: F(1)2π)

    d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von F für 0x3 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1.

  3. 3

    Für jeden Wert k>0 legen die auf Gf liegenden Punkte Pk(k|f(k)) und Qk(k|f(k)) gemeinsam mit dem Punkt R(0|1) ein gleichschenkliges Dreieck PkQkR fest.

    a) Berechnen Sie für k=2 den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks P2Q2R (vgl. Abbildung 3).

    Funktion

    Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks PkQkR allgemein durch den Term A(k)=2kk2+1 beschrieben werden kann.

    b) Zeigen Sie, dass es einen Wert von k>0 gibt, für den A(k) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von k sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks PkQkR.


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