Teilaufgabe a)

Die vorgelegte Funktion ist eine gebrochen rationale Funktion, wobei Zählergrad gleich dem Nennergrad. Da der Nenner eine Summe nicht negativer Summanden ist und insgesamt immer positiv ist, ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.

Zum Nachweis der Achsensymmetrie:

$f\left(x\right)=f(-x)f\backslash left(x\backslash right)=f\backslash left(-x\backslash right)$, für alle x

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac\{x^2-1\}\{x^2+1\}$

$f(-x)={\displaystyle \frac{{(-x)}^2-1}{{(-x)}^2+1}}={\displaystyle \frac{(x^2-1)}{x^2+1}}f\backslash left(-x\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash left(-x\backslash right)^2-1\}\{\backslash left(-x\backslash right)^2+1\}=\backslash dfrac\{\backslash left(x^2-1\backslash right)\}\{x^2+1\}$$=f\left(x\right)=f\backslash left(x\backslash right)$. Achsensymmetrisch.

Zum Verhalten im Unendlichen:

Man kürzt den Quotienten mit $x^{2}x^2$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}}={\displaystyle \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}}\to 1f\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash frac\{x^2\}\{x^2\}-\backslash frac\{1\}\{x^2\}\}\{\backslash frac\{x^2\}\{x^2\}+\backslash frac\{1\}\{x^2\}\}=\backslash dfrac\{1-\backslash frac\{1\}\{x^2\}\}\{1+\backslash frac\{1\}\{x^2\}\}\backslash rightarrow\backslash \; 1$

$f\left(x\right)=\mathrm{0,96}\iff \frac{(x^2-1)}{x^2+1}=\mathrm{0,96}\iff f\backslash left(x\backslash right)=0\{,\}96\backslash \; \backslash Leftrightarrow\backslash \; \backslash frac\{\backslash left(x^2-1\backslash right)\}\{x^2+1\}=0\{,\}96\backslash \; \backslash Leftrightarrow\backslash$

$\mathrm{0,96}\cdot x^2+\mathrm{0,96}=x^2-1\iff -\mathrm{0,04}\cdot x^2=-\mathrm{1,96}\iff 0\{,\}96\backslash cdot\; x^2+0\{,\}96=x^2-1\backslash Leftrightarrow\backslash \; -0\{,\}04\backslash cdot\; x^2=-1\{,\}96\backslash Leftrightarrow\backslash$

$x^2=49\iff x=-7\text{ oder }x=7.x^2=49\backslash \; \backslash Leftrightarrow\backslash \; x=-7\; \backslash text\{\; oder~\}\; x=7.$

Teilaufgabe b)

Zum Monotonieverhalten benutzt man die erste Ableitung. f ist eine gebrochen rationale Funktion, also kommt die Quotientenregel zur Anwendung.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2x\cdot (x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{{(x^2+1)}^2}=\frac{2x\cdot (x^2+1-x^2+1)}{{(x^2+1)}^2}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{2x\backslash cdot\backslash left(x^2+1\backslash right)-\backslash left(x^2-1\backslash right)\backslash cdot2x\}\{\backslash left(x^2+1\backslash right)^2\}=\backslash frac\{2x\backslash cdot\backslash left(x^2+1-x^2+1\backslash right)\}\{\backslash left(x^2+1\backslash right)^2\}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4\cdot \frac{x}{{(x^2+1)}^2}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=4\backslash cdot\backslash frac\{x\}\{\backslash left(x^2+1\backslash right)^2\}$.

Das Vorzeichen von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ wird nur vom Zähler bestimmt, da der Nenner als Quadrat keinen Vorzeichenwechsel hat.

Der Zähler $xx$ wird graphisch durch die 1. Winkelhalbierende dargestellt. Also ergibt sich:

.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)>0,fallsx>0\Rightarrow fstrengmonotonsteigendf\text{'}\backslash left(x\backslash right)>0,\backslash \; falls\backslash \; x>0\backslash \; \backslash \; \backslash Rightarrow\; fstreng\backslash \; monoton\backslash \; steigend$

Teilaufgabe c)

Tangente an $G_{f}G\_f$ im Berührpunkt B(3;f(3)).

$y_B=f\left(x_B\right)\iff f\left(3\right)=\frac{3^2-1}{3^2+1}=\frac{8}{10}y\_B=f\backslash left(x\_B\backslash right)\backslash \; \backslash Leftrightarrow\; f\backslash left(3\backslash right)=\backslash frac\{3^2-1\}\{3^2+1\}=\backslash frac\{8\}\{10\}$

Die Tangente ist eine Gerade, daher: $y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$.

Die Steigung m ist der Wert der 1. Ableitung an der Stelle $x_B=3x\_B=3$. $m=\frac{12}{{10}^2}=\frac{12}{100}=\mathrm{0,12}m=\backslash frac\{12\}\{10^2\}=\backslash frac\{12\}\{100\}=0\{,\}12$.

Somit $y=\mathrm{0,12}\cdot x+by=0\{,\}12\backslash cdot\; x+b$.

Die Koordinaten des Berührpunktes erfüllen die Tangentengleichung.

Man setzt die Koordinaten des Berührpunktes in die Tangentengleichung ein und erhält den y-Achsenabschnitt b.

$\frac{8}{10}=\frac{12}{100}\cdot 3+b\Rightarrow \text{b}=\frac{8}{10}-\frac{36}{100}=\frac{80}{100}-\frac{36}{100}=\frac{44}{100}\backslash frac\{8\}\{10\}=\backslash frac\{12\}\{100\}\backslash cdot3+b\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash text\{b\}=\backslash frac\{8\}\{10\}-\backslash frac\{36\}\{100\}=\backslash frac\{80\}\{100\}-\backslash frac\{36\}\{100\}=\backslash frac\{44\}\{100\}$

Somit: t:$y=\frac{12}{100}\cdot x+\frac{44}{100}y=\backslash frac\{12\}\{100\}\backslash cdot\; x+\backslash frac\{44\}\{100\}$

Winkelberechnung: $m=\tan \left(a\right)\Rightarrow \text{a}=\mathrm{6,84}\mathrm{°}m=\backslash tan\backslash left(a\backslash right)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash text\{a\}=6\{,\}84°$