Beispielaufgaben – Überblick zum Satz des Pythagoras

Gib, falls möglich, die allgemeine Formel vom Satz des Pythagoras an und berechne anschließend die fehlende Seite:

a)

Das Dreieck $A B C$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem $90^\circ$ -Winkel bei $A$ . Deshalb ist die Seite $a$ die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten $b$ und $c$ sind in diesem Dreieck die Katheten.Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2.

Nun setzt man die gegebenen Werte ein: $b = 3\, \mathrm{cm}$ und $c = 4\, \mathrm{cm}$ :

\displaystyle a^2 = (3\,\mathrm{cm})^2 + (4\,\mathrm{cm})^2 = 9\,\mathrm{cm}^2 + 16\, \mathrm{cm}^2 = 25\, \mathrm{cm}^2.

Durch Wurzelziehen auf beiden Seiten erhält man dann die Länge der Hypotenuse $a$ :

\displaystyle a^2 = 25\,\mathrm{cm}^2 \Leftrightarrow \sqrt{a^2} = \sqrt{25\, \mathrm{cm}^2} \Leftrightarrow a = 5\,\mathrm{cm}.

b)

Lösung

Das Dreieck $A B C$ ist kein rechtwinkliges Dreieck. Darum darf man hier den Satz des Pythagoras nicht anwenden!

c)

Lösung

Das Dreieck $A B C$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem $90^\circ$ -Winkel bei $A$ . Deshalb ist die Seite $a$ die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten $b$ und $c$ sind in diesem Dreieck die Katheten.Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2.

Gesucht ist aber die Länge der Kathete $c$ . Daher muss man die Formel nach $c$ auflösen:

$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle b^2+c^2$	$\displaystyle -b^2$
$\displaystyle a^2-b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$	$\displaystyle \sqrt{\ }$
	↓	Ziehe die Wurzel. (Die negative Lösung $-\sqrt {a^2-b^2}$ bleibt bei Längen unberücksichtigt.)
$\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{c^2}$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}$

Nun muss man nur noch die Werte $a = 10\, \mathrm{cm}$ und $b = 6\, \mathrm{cm}$ einsetzen und ausrechnen:

$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(10\text{cm}\right)^2-\left(6\text{cm}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100\text{cm}^2-36\text{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{64\text{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle 8\$

6Beispielaufgaben