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Überblick zum Satz des Pythagoras

6Beispielaufgaben

Gib, falls möglich, die allgemeine Formel vom Satz des Pythagoras an und berechne anschließend die fehlende Seite:

a)

Aufgabenstellung a
Lösung

Das Dreieck ABCABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem 90∘90^\circ-Winkel bei AA. Deshalb ist die Seite aa die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten bb und cc sind in diesem Dreieck die Katheten.Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

Nun setzt man die gegebenen Werte ein: b=3 cmb = 3\, \mathrm{cm} und c=4 cmc = 4\, \mathrm{cm}:

Durch Wurzelziehen auf beiden Seiten erhält man dann die Länge der Hypotenuse aa:

b)

Aufgabenstellung b
Lösung

Das Dreieck ABCABC ist kein rechtwinkliges Dreieck. Darum darf man hier den Satz des Pythagoras nicht anwenden!

c)

Aufgabenstellung c
Lösung

Das Dreieck ABCABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem 90∘90^\circ-Winkel bei AA. Deshalb ist die Seite aa die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten bb und cc sind in diesem Dreieck die Katheten.Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

Gesucht ist aber die Länge der Kathete cc. Daher muss man die Formel nach cc auflösen:

a2\displaystyle a^2==b2+c2\displaystyle b^2+c^2−b2\displaystyle -b^2
a2−b2\displaystyle a^2-b^2==c2\displaystyle c^2 \displaystyle \sqrt{\ }
↓

Ziehe die Wurzel. (Die negative Lösung −a2−b2-\sqrt {a^2-b^2} bleibt bei Längen unberücksichtigt.)

a2−b2\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}==c2\displaystyle \sqrt{c^2}
c\displaystyle c==a2−b2\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}

Nun muss man nur noch die Werte a=10 cma = 10\, \mathrm{cm} und b=6 cmb = 6\, \mathrm{cm} einsetzen und ausrechnen:

c\displaystyle c==a2−b2\displaystyle \sqrt{a^2-b^2}
==(10cm)2−(6cm)2\displaystyle \sqrt{\left(10\text{cm}\right)^2-\left(6\text{cm}\right)^2}
==100cm2−36cm2\displaystyle \sqrt{100\text{cm}^2-36\text{cm}^2}
==64cm2\displaystyle \sqrt{64\text{cm}^2}
==8 \displaystyle 8\

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